Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой

Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек М (х ;у ), М₂(х₂;y ), …, M (x ;y ) соответственное массами m ,m , …, m„.

Статическим моментом S_Х системы материальных точек относи­тельно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ох):

Аналогично определяется статистический момент S этой системы относительно оси Oy: S = .

Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кри­вой, то для выражения статического момента понадобится интегрирова­ние.

Пусть у =f/(х) (a ≤ х ≤ b ) — это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью ( = const).

Для произвольного х [а;b]на кривой АВ найдется точка с коорди­натами (х; у). Выделим на кривой элементарный участок длины dl, содер­жащий точку (х;у). Тогда масса этого участка равна . Примем этот участок dl приближенно за точку, отстоящую от оси Ох на расстоянии у. Тогда дифференциал статического момента dS (“элементарный момент”) будет равен , т.е. .

Отсюда следует, что статический момент S _Х кри­вой АВ относительно оси Ох равен

Аналогично находим S :

Статические моменты S _Х и S _У кривой позволя­ют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).

Центром тяжести материальной плоской кривой у = f(х), х 6 [а; b] называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен ста­тическому моменту всей кривой у = f(х) относительно той же оси. Обо­значим через С(х_с;у_с) центр тяжести кривой АВ.

Из определения центра тяжести следуют равенства и или и . Отсюда ,

или

Пример. Найти центр тяжести однородной дуги окружности x + y ⁼ R², расположенной в первой координатной четверти (рис 16).

Рис 16

Решение: Очевидно, длина указанной окружности равна , т.е. . Найдем статистический момент ее относительно оси Ох. Так как уравнение дуги есть и , то ()

.

Стало быть,

Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то х_с = у_с = Итак, центр тяжести имеет координаты (; ).

3.5Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской фигуры

Пусть дана материальная плоская фигура (пластинка), ограниченн кривой у = f(х) ≥ 0 и прямыми у = 0, х = а, х = b) (рис 17).

Будем считать, что поверхностная плотность пластинки постоянна ( = const). Тогда масса всей пластинки равна т. е. . Выделим элементарный участок пластинки в виде бесконечно узкой вертикальной полосы и будем приближенно считать его прямоугольником.

Тогда масса его равна . Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении диагоналей прямоугольника. Эта точка отстоит от оси Ох на ½y, а от оси Оу на x (приближенно; точнее на расстоянии х+ ½Δx). Тогда для элементарных статических моментов относительно осей Ох и Оу выполнены соотношения

и

Следовательно,

,

По аналогии с плоской кривой получаем, обозначив координаты центра тяжести плоской фигуры (пластинки) через С(x ;y ), что .

Отсюда

и

или

x , .

Пример. Найдем координаты центра тяжести полукруга ( = const) (рис 18).

Рис 18

Решение: Очевидно (ввиду симметрии фигуры относительно оси Oy), что . Площадь полукруга равна .Находим S x:

Стало быть,

Итак, центр тяжести имеет координаты С(0; )

Дата добавления: 2015-06-26