Решение типовых задач

1) Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение

xydx + (x + 1) dy = 0.

Решение:

Задано дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

Разделим переменные:(x + 1) dy = – xydx;

;

проинтегрируем уравнение: ;

;

.

Таким образом, – общее решение дифференциального уравнения.

2) Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение

.

Решение:

Задано однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Приведем его к виду :

.

Подстановкой , , приведем данное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными: .

Разделим переменные: .

Проинтегрируем последнее уравнение:

;

.

Выполним обратную подстановку: так как , то получаем:

или – общий интеграл заданного дифференциального уравнения.

3) Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение

.

Решение:

Задано дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка и не содержащее х в явном виде.

Понизим порядок данного уравнения подстановкой , :

.

Разделим переменные: .

Проинтегрируем последнее уравнение:

.

Так как , то получаем дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: .

Разделим переменные и проинтегрируем:

;

.

Найдем левый интеграл, используя метод замены переменной:

(т. к. , поэтому получаем) .

Окончательно находим:

.

Таким образом, – общее решение дифференциального уравнения.

4) Определить тип дифференциального уравнения и найти его частное решение

, , .

Решение:

Задано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составим и решим характеристическое уравнение:

.

По теореме Виета находим корни: , то есть корни действительные и различные. Из таблицы формул общего решения находим, что , есть общее решение заданного дифференциального уравнения.

Значения постоянных найдем из начальных условий:

Вычисляем производную и получаем систему линейных уравнений:

.

Запишем частное решение: .

Таким образом, – частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Дата добавления: 2015-06-26