Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка

Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка

Уравнение называется однородным, если P и Q однородные функции от x и y одинакового измерения.

Однородные уравнения приводятся к виду и решаются подстановкой как уравнения с разделяющимися переменными.

1) Уравнение вида решается последовательным n -интегрированием правой части. При каждом интегрировании получается одно произвольное постоянное, а в окончательном результате – n произвольных постоянных.

2) Уравнение , не содержащее y в явной форме, приводиться подстановкой , к уравнению первого порядка .

3) Уравнение , не содержащее x в явной форме, подстановкой , приводиться к уравнению первого порядка .

Уравнение , в котором коэффициенты постоянны, можно привести к уравнению вида

Частное решение такого уравнения ищется в виде функции . Дважды дифференцируя эту функцию и подставляя выражения , , , получим уравнение . Так как , то, сокращая на , получим уравнение .

Алгебраическое уравнение для определения коэффициента k называется характеристическим уравнением данного дифференциального уравнения.

Характеристическое уравнение является уравнением второй степени и имеет два корня. Эти корни могут быть или действительными различными, или действительными и равными, или комплексными сопряженными.

Приведем таблицу формул общего решения уравнения в зависимости от вида корней характеристического уравнения:

Уравнение
Характеристическое уравнение
Корни характеристического уравнения
Фундаментальная система частных решений
Формула общего решения

Дата добавления: 2015-06-26