Формулы объемов тел вращения

Рассмотрим некоторое тело и вычислим его объем. Допустим, что известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными оси Ох. С изменением х площадь сечения также будет изменяться, т. е. являться некоторой функцией х. Обозначим эту функцию через S(x) и будем считать ее непрерывной функцией на отрезке [a, b]. Тогда объем тела

В частном случае, когда тело образовано вращением вокруг оси Ox и криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией , объем тела вращения вычисляется по формуле

(3)

Если криволинейная трапеция вращает вокруг оси Oy, то объем тела вращения

(4)

Пример: Вычислить объем шара радиуса R.

Решение:

Шар радиуса R получается вращением полуокружности вокруг оси Ox, поэтому его объем V можно найти по формуле (3). Используя симметрию данного шара относительно оси Oy, находим

Дата добавления: 2015-06-26