Формула Ньютона – Лейбница

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и функция F(x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона – Лейбница

Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла

1. Формулы площадей плоских фигур.

a) Пусть на плоскости Оxy дана фигура, ограниченная отрезком [a, b] оси Ox, прямыми x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на [a, b]. Такую фигуру называют криволинейной трапецией, площадь S которой может быть вычислена по формуле

(1)

Пример:

1) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Рис. 1.

Можно считать, что эта фигура ограничена осью Ох, прямыми х= -1, х= 1 и графиком функции (рис.1), поэтому по формуле (1), ее площадь

2) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Рис. 2.

Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную осью абсцисс, прямыми х =0 и х =3 графиком функции, которая на отрезке [0, 1] равна х, а на отрезке [1, 3] равна Разобьем данную криволинейную трапецию прямой х =1 на две части (рис. 2). Площади этих частей находятся по формуле (1):

Площадь искомой криволинейной трапеции находим согласно свойству аддитивности площади,

b) Пусть на отрезке [a, b] заданы две непрерывные функции причем при всех значениях х из этого отрезка . Площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно графиками функций прямыми х=а и х=b и осью абсцисс. Следовательно, площадь S данной фигуры можно найти так:

(2)

Пример:

1) Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций (рис. 3).

Решение:

Рис. 3.

Пределами интегрирования являются абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Найдем их. Для этого решим систему уравнений

В результате получаем Искомую площадь находим с помощью формулы (2):

2) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Рис. 4.

Данная фигура заключена между графиками функций , прямыми х =0, х =1 (рис. 4). Поэтому ее площадь находим с помощью формулы (2):

Дата добавления: 2015-06-26