В случае прямоугольной области

Приведение двойного интеграла к повторному

Пусть область D является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат (рис. 8). Обозначим его так:

y d c

, т.е. a £ x £ b, с £ у £ d.

Если для функции f(x, y), определенной в прямоугольнике , существует двойной интеграл

, (2)

а при каждом фиксированном значении х из [ a, b ] – простой интеграл

, (3)

то существует также повторный (или двукратный) интеграл

, (4)

причем выполняется равенство

. (5)

Если существует двойной интеграл (2), а при каждом постоянном значении у из [ c, d ] – простой интеграл

, (6)

то существует также повторный интеграл

, (7)

причем

. (8)

Если вместе с двойным интегралом (2) существуют оба простых интеграла (3) и (6), то выполняются одновременно равенства (5) и (8), откуда

.

Пример 1. Вычислить повторный интеграл .

В соответствии с формулой (7)

.

Вычислим сначала интеграл, стоящий в скобках (он называется внутренним интегралом). Считая у постоянным, находим

.

Вычисляем внешний интеграл, для чего полученную функцию интегрируем по у в пределах от 1 до е:

.

Пример 2. Вычислить повторный интеграл .

В соответствии с формулой (4)

.

Вычисляем внутренний интеграл, считая х постоянным:

Полученную функцию проинтегрируем по х в пределах от 1 до 2:

Пример 3. Вычислить повторный интеграл .

Не выписывая отдельно вычисление внутреннего интеграла, находим

Пример 4. Вычислить , где область D является прямоугольником [2, 4; 1, 3].

Задача сводится к вычислению повторного интеграла с помощью формулы (5). По этой формуле интегрирование выполняется сначала по у в пределах от с до d при произвольном постоянном х, а потом – по х в пределах от а до b. Формула (5) в данном случае примет вид

.

Так как

,

то

.

Следовательно,

.

Замечание. Тот же результат можно получить и по формуле (8):

.

Действительно,

,

поэтому

.

Пример 5. Вычислить , где D - прямоугольником [1, 2; 0, 3].

Подынтегральная функция представляет собой произведение функции только от х на функцию только от у, т.е.

,

где , , поэтому при вычислении двойного интеграла можно пользоваться формулой вида

Следовательно,

.

Пример 6. Вычислить , где D - квадрат .

Не выписывая отдельно вычисление внутреннего интеграла, находим

.

Дата добавления: 2015-06-04