Зеемановское расщепление

Хотя с задачей отыскания уровней энергии основного состоя­ния водорода мы и справились, мы все же продолжим изучение этой интересной системы. Чтобы сказать о ней еще что-то, на­пример чтобы подсчитать скорость, с какой атом водорода поглощает или испускает радиоволны длиной 21 см, надо знать, что с ним происходит, когда он возмущен. Нужно проделать то, что мы сделали с молекулой аммиака,— после того как мы нашли уровни энергии, мы отправились дальше и выяснили, что происходит, когда молекула находится в электрическом поле. И после этого нетрудно оказалось представить себе влия­ние электрического поля радиоволны. В случае атома водо­рода электрическое поле ничего с уровнями не делает, разве что сдвигает их все на некоторую постоянную величину, пропор­циональную квадрату поля, а нам это неинтересно, потому что это не меняет разностей энергий. На сей раз важно уже магнит­ное поле. Значит, следующим шагом будет написать гамильто­ниан для более сложного случая, когда атом сидит во внешнем магнитном поле.

Каков же этот гамильтониан? Мы просто сообщим вам ответ, потому что никакого «доказательства» дать не можем, разве что сказать, что именно так устроен атом.

Гамильтониан имеет вид

Теперь он состоит из трех частей. Первый член А (s^е•s^р) пред­ставляет магнитное взаимодействие между электроном и прото­ном; оно такое же, как если бы магнитного поля не было. Влия­ние внешнего магнитного поля проявляется в остальных двух членах. Второй член (-m _е s ^е • В) — это та энергия, которой электрон обладал бы в магнитном поле, если бы он там был один. Точно так же последний член (-m_р s ^р• В) был бы энер­гией протона-одиночки. Согласно классической физике, энергия их обоих вместе была бы суммой их энергий; по квантовой меха­нике это тоже правильно. Возникающая из-за наличия магнит­ного поля энергия взаимодействия равна просто сумме энергий взаимодействия электрона с магнитным полем и протона с тем же полем, выраженных через операторы сигма. В квантовой меха­нике эти члены в действительности не являются энергиями, но обращение к классическим формулам для энергии помогает запоминать правила написания гамильтониана. Как бы. то ни было, (10.27) — это правильный гамильтониан.

Теперь нужно вернуться к началу и решать всю задачу сызнова. Но большая часть работы уже сделана, надо только добавить эффекты, вызываемые новыми членами. Примем, что магнитное поле В постоянно и направлено по z. Тогда к нашему старому гамильтонову оператору Н^ надо добавить два новых куска; обозначим их Н^':

Пользуясь табл. 10.1, мы сразу получаем

Смотрите, как удобно! Оператор Н', действуя на каждое состояние, дает просто число, умноженное на это же состоя­ние. В матрице < i|H'|j > есть поэтому только диагональные элементы, и можно просто добавить коэффициенты из (10.28) к соответствующим диагональным членам в (10.13), так что гамильтоновы уравнения (10.14) обращаются в

Форма уравнений не изменилась, изменились только коэф­фициенты. И пока В не меняется со временем, можно все делать так же, как и раньше.

Подставляя

, мы получаем

К счастью, первое и четвертое уравнения по-прежнему не зависят от остальных, так что снова пойдет в ход та же техника. Одно решение — это состояние | I >, для которого

или

Другое решение

Для остальных двух уравнений потребуется больше работы, потому что коэффициенты при а ₂ и a₃ уже не равны друг другу. Но зато они очень похожи на ту пару уравнений, которую мы писали для молекулы аммиака. Оглядываясь на уравнения (7.20) и (7.21), можно провести следующую аналогию (помните, что тамошние индексы 1 и 2 соответствуют здесь индексам 2 и 3):

Раньше энергии давались формулой (7.25), которая имела вид

Подставляя сюда (10.33), получаем для энергии

В гл. 7 мы привыкли называть эти энергии Е_I и Е_II, теперь мы их обозначим Е_III и E_IV:

Итак, мы нашли энергии четырех стационарных состояний атома водорода в постоянном магнитном поле. Проверим наши выкладки, для чего устремим В к нулю и посмотрим, полу­чатся ли те же энергии, что и в предыдущем параграфе. Вы ви­дите, что вес в порядке. При В= 0энергии Е_I, Е_II и Е_III обра­щаются в + А, a e_iv — в - ЗА. Даже наша нумерация состоя­ний согласуется с прежней. Но когда мы включим магнитное поле, то каждая энергия начнет меняться по-своему. Посмотрим, как это происходит.

Во-первых, напомним, что у электрона m_е отрицательно и почти в 1000 раз больше m_р, которое положительно. Значит, и m_e+m_p и m_e-m_p оба отрицательны и почти равны друг другу. Обозначим их -m и -m':

(И mи m' положительны и по величине почти совпадают с m_е, которое примерно равно одному магнетону Бора.) Наша четверка энергий тогда обратится в

Энергия Е_I вначале равна А и линейно растет с ростом В со скоростью m. Энергия Е_II тоже вначале равна A, но с ростом В линейно убывает, наклон ее кривой равен -m. Изменение этих уровней с В показано на фиг. 10.3. На рисунке показаны также графики энергий Е_III и e_iv. Их зависимость от В иная. При малых В они зависят от В квадратично; вначале наклон их равен нулю, а затем они начинают искривляться и при боль­ших В приближаются к прямым с наклоном ±m', близким к наклону e_i и Е_II

Сдвиг уровней энергии атома, вызываемый действием маг­нитного поля, называется эффектом Зеемана. Мы говорим, что кривые на фиг. 10.3 показывают зеемановское расщепление основ­ного состояния водорода.

Фиг. 10.3. Уровни энергии основного состояния

водорода в магнитном поле В.

Кривые E_III и Е_IV приближаются к пунктирным прямым

А±m'В.

Когда магнитного поля нет, то просто получается одна спектральная линия от сверхтонкой структуры водорода. Переходы между состоянием | IV > и любым из осталь­ных трех происходят с поглощением или испусканием фотона, частота которого равна 1420 Мгц:1 /h, умноженной на разность энергий 44. Но когда атом находится в магнитном поле В, то линий получается гораздо больше. Могут происходить переходы между любыми двумя из четырех состояний. Значит, если мы имеем атомы во всех четырех состояниях, то энергия может поглощаться (или излучаться) в любом из шести переходов, показанных на фиг. 10.4 вертикальными стрелками.

Фиг. 10.4. Переходы между уровнями энергии основного состояния водорода в некотором маг­нитном поле В.

Многие из этих переходов можно наблюдать с помощью техники молеку­лярных пучков Раби, которую мы описывали в гл. 35, § 3 (вып.7).

Что же является причиной переходов? Они возникают, если наряду с сильным постоянным полем B приложить малое возмущающее магнитное поле, которое меняется во времени. То же самое мы наблюдали и при действии переменного электрического поля на молекулу аммиака. Только здесь виновник переходов — это магнитное поле, действующее на магнитные моменты. Но теоретические выкладки те же самые, что и в случае аммиака. Проще всего они получаются, если взять возмущающее магнит­ное поле, вращающееся в плоскости ху, хотя то же будет от любого осциллирующего горизонтального поля. Если вы вста­вите это возмущающее поле в качестве добавочного члена в га­мильтониан, то получите решения, в которых амплитуды ме­няются во времени, как это было и с молекулой аммиака. Зна­чит, вы сможете легко и аккуратно рассчитать вероятность перехода из одного состояния в другое. И обнаружите, что все это согласуется с опытом.

Дата добавления: 2015-06-04