Проекционная матрица для спина 1

Теперь мы хотели бы применить наши знания об атоме водо­рода к одной специальной задаче. В гл. 3 мы говорили о том, что частица со спином 1, находящаяся в одном из базисных со­стояний (+, 0, -) по отношению к прибору Штерна — Герлаха с какой-то частной ориентацией (скажем, по отношению к при­бору S), будет иметь определенную амплитуду пребывания в одном из трех состояний по отношению к прибору Т, ориенти­рованному в пространстве по-другому. Имеются девять таких амплитуд < jT|iS >, которые вместе образуют проекционную матрицу. В гл. 3, § 7, мы без доказательства выписали элементы этой матрицы для различных ориентации Т по отношению к S. Теперь мы хотим показать вам один из способов их вывода.

В атоме водорода мы с вами отыскали систему со спином 1, составленную из двух частиц со спином ¹/₂. В гл. 4 мы уже научились преобразовывать амплитуды для спина ¹/₂. Эти зна­ния можно применить к тому, чтобы получить преобразование для спина 1. Вот как это делается: имеется система (атом водо­рода с энергией + А) со спином 1. Пусть мы пропустили ее сквозь фильтр S Штерна — Герлаха так, что знаем теперь, что она находится в одном из базисных состояний по отношению к S, скажем в |+ S). Какова амплитуда того, что она окажется в одном из базисных состояний, скажем |+ T), по отношению к прибору Т? Если вы назовете систему координат прибора S системой х, у, z, то состояние |+ S > — это то, что недавно назы­валось состоянием |+ +>. Но представьте, что какой-то ваш приятель провел свою ось z вдоль оси Т. Он свои состояния будет относить к некоторой системе х', у', z'. Его состояния «вверх» и «вниз» для электрона и протона отличались бы от ваших. Его состояние «плюс — плюс», которое можно записать | +'+'>, отмечая «штрихованность» системы, есть состояние |+ Т > частицы со спином 1. А вас интересует <+ T |+ S >, что есть просто иной способ записи амплитуды <+'+' | + + >.

Амплитуду <+ '+' | + +> можно найти следующим обра­зом. В вашей системе спин электрона из состояния | + +> направлен вверх. Это означает, что у него есть некоторая ампли­туда <+'|+>_e оказаться в системе вашего приятеля спином вверх и некоторая амплитуда <-' |+>_е оказаться в этой системе спином вниз. Равным образом, протон в состоянии + + У имеет спин вверх в вашей системе и амплитуды <+'|+>_р и <-'|+>_p оказаться спином вверх или вниз в «штрихованной» системе. Поскольку мы говорим о двух раз­ных частицах, то амплитуда того, что обе частицы вместе в его системе окажутся спинами вверх, равна произведению амплитуд

Мы поставили значки е и р под амплитудами <+'|+>, чтоб было ясно, что мы делаем. Но обе они — это просто ампли­туды преобразований для частицы со спином ¹/₂, так что на самом деле — это одни и те же числа. Фактически — это те же амплитуды, которые мы в гл. 4 называли <+ Т |+ S > > и которые мы привели в табл. 4.1 и 4.2.

Но теперь, однако, нам угрожает путаница в обозначениях. Надо уметь различать амплитуду <+ T |+ S) для частицы со спином ¹/₂ от того, что мы также назвали <+ T |+ S >, но для спина 1—между ними нет ничего общего! Надеюсь, вас не очень собьет с толку, если мы на время введем иные обозначения амплитуд для спина ¹/₂, Они приведены в табл. 10.4. Для состоя­ний частиц спина 1 мы по-прежнему будем прибегать к обозна­чениям | + S, | 0 S > и |- S >.

Таблица 10.4 • АМПЛИТУДЫ для СПИНА ¹/₂

В наших новых обозначениях (10.44) просто превращается в

Это как раз амплитуда <+ T |+ S > для спина 1. Теперь давайте, например, предположим, что у вашего приятеля система коор­динат, т. е. «штрихованный» прибор Т, повернута вокруг вашей оси z на угол j; тогда из табл. 4.2 получается

Значит, из (10.44) амплитуда для спина 1 окажется равной

Теперь вам понятно, как мы будем действовать дальше.

Но хорошо бы провести выкладки в общем случае для всех состояний. Если протон и электрон в нашей системе (системе S) оба смотрят вверх, то амплитуды того, что в другой системе (системе Т)они будут в одном из четырех возможных состояний,

равны

Затем мы можем записать состояние |+ +> в виде следующей линейной комбинации:

Но теперь мы замечаем, что |+ '+'> — это состояние |+ Т >, что {| + '-'>+|-'+'>} — это как раз Ö2, умноженный на состояние |0 T > [см. (10.41)], и что | - '-'> = |- Т >. Иными словами, (10.47) переписывается в виде

Точно так же легко показать, что

С |0 S > дело обстоит чуть посложнее, потому что

Но каждое из состояний | + - > и | - +> можно выразить через «штрихованные» состояния и подставить в сумму:

Умножая сумму (10.50) и (10.51) на 1/Ö2, получаем

Отсюда следует

Теперь у нас есть все необходимые амплитуды. Коэффи­циенты в (10.48), (10.49) и (10.52) —это матричные элементы

< jТ | iS >. Сведем их в одну матрицу:

Мы выразили преобразование спина 1 через амплитуды а, b, с и d преобразования спина ¹/₂.

Если, например, система Т повернута по отношению к S на угол а вокруг оси у (см. фиг. 3.6, стр. 64), то амплитуды в табл. 10.4—это просто матричные элементы R_y (a) в табл. 4.2:

Подставив их в (10.53), получим формулы (3.38), которые приведены на стр. 80 без доказательства.

Но что же случилось с состоянием | IV)?! Это система со спи­ном нуль; значит, у нее есть только одно состояние — оно во всех системах координат одно и то же. Можно проверить, что все так и выходит, если взять разность (10.50) и (10.51); получим

Но (ad-bc) — это определитель матрицы для спина ¹/₂, он просто равен единице. Получается

| IV '>=| IV > при любой относительной ориентации двух систем координат.

Дата добавления: 2015-06-04