Тема. Имитационное моделирование

Вопрос

Вопрос

Оценка качества трендовых моделей предполагает установление их адекватностей исследуемому явлению. При этом следует понимать, что точного соответствия модели реально существующему процессу быть не может, то есть речь идет лишь об адекватности свойств модели, позволяющие исследовать существенные стороны изучаемого явления.

Для оценки качества используются следующие критерии:

1. Критерий серий: при его использовании рассчитывают отклонения фактических значений временного ряда от выровненных, полученных по соответствующей трендовых модели.

ξ_t = y_t -y_t

После этого величины ξ_t располагают в возрастающем порядке и находят медиану полученного вариационного ряда.

Затем, каждое исходное значение ξ_t сравнивают с медианой:

Если оно превосходит медианное, то ставят знак плюс, в противном случае знак минус.

Если значение ξ_t равно медианному - оно опускается.

Таким образом, формируется последовательность, включающая плюсы и минусы, общее количество которых не превосходит длинны временного ряда.

Последовательность подряд идущих плюсов и минусов называется серией.

Обозначим через К-максимальное величину самой большой серии, а через V общее количество серий. Трендовых модель признается адекватной с 5% уровнем значимости, если она удовлетворяет двум следующим условиям:

1. K_max= <[3,3(lgn+1)]

2. V>[½(n+1)-1,96√(n-1)]

2. Критерий пиков: при его использовании определяется количество поворотных точек, которые будем обозначить через Р, точка считается поворотной, если уровень ξ_t больше или меньше 2-х рядом стоящих уровней.

ξ_t-1< ξ_t> ξ_t+1

ξ_t-1> ξ_t< ξ_t+1

Трендовая модель с доверительно вероятностью 95% является адекватной если выполняется следующее равенство: Равенство.

p>(p-1,16√ δ_p²)

p – математическое ожидание числа точек оборота

δ_p²- дисперсия числа точек оборота

p = ⅔(n-2)

δ_p²= 16n-29/90

3. Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты 0.

Для этого определяется расчетной значение t критерия Стьюдента, которое потом сравнивается с табличным значением.

Если t расчетной меньше t табличного с заданным уровнем значимости α и числом степеней свободы n-1, то модель считается адекватной.

t_расч = ξ-0/δ_ξ × √n

n- количество уровней временного ряда.

Прогнозирования экономических процессов на основе трендовых моделей базируется на идеи экстраполяции, то есть возможность продления в будущее тенденции наблюдавшейся в прошлом.

При этом при проведении расчетов оперирует не точечной оценкой (в виде конкретного значения прогнозируемого показателя, получаемого путем подстановки величины времени в трендовую модель). Оперируют не точечной, а интервальной оценкой, определяя доверительные интервалы прогноза (границы значений, в которых с определенной вероятностью можно ожидать появления фактического значения рассматриваемого показателя).

Для прямолинейного тренда доверительные интервалы определяются по следующей формуле:

y_{прогнозное} = y_n+L±t_α·S_y √1+⅟n + 3(n+2L-1)²/n(n-1)

y_n+L – точечный прогнозируемого показателя на период упреждения

L- период упреждения (прогноза)

t_α – табличное значение t критерия Стьюдента для уровня значимости α и для числа степеней свободы, равного n – 2

S_y – стандартная ошибка оценки прогнозируемого показателя

S_y = √2(y-y)²/ n-k

n – длина временного ряда

k – число параметров в уравнение тренда

Прогнозирование на основе трендовых моделей один из самых простейших методов прогнозирования, поэтому он применяется в качестве начального этапа комплексной метрики прогнозирования.

Приз учении рядов динамики важное значение имеет выявление сезонных колебаний, которым свойственны достаточно устойчивое изменение уровней ряда по внутригодовым периодам (месяцам и кварталам), наиболее ярко это связь видна там, где исследуемые процессы прямо зависят от естественных особенностей времени года.

Сезонность - это ограниченность годового периода работ под влиянием природного фактора.

Основные моменты, в которых проявляется влияние сезонности на экономику:

1. В аритмии производственных и других процессов;

2. В недозагрузке оборудования в одни периоды и более интенсивном использовании в другие;

3. В неравномерности товарооборота и т.д.

Сезонные колебания - это периодические колебания, возникающие под влиянием смены времени года, они строго цикличны, то есть повторяется через каждый год.

Основные задачи изучения сезонных временных рядов:

1. Определение наличия во временном ряду тренда и степени его гладкости;

2. Выявление наличия во временном ряду сезонных колебаний;

3. Фильтрация компонент ряда;

4. Анализ динамики сезонной волны;

5. Исследование факторов, определяющих сезонные колебания.

6. Прогнозирование трендов сезонных процессов;

7. Если экономические процессы подвергаются колебаниям с постоянным периодом равным одному году, то временной ряд, описывающих этот процесс называют тренд сезонным временным рядом. Представляют его в виде аддитивной модели. Формула.

y_t= U_t+V_t+ ξ_t

U_t -тренд

V_t – сезонные компоненты

ξ_t – случайные компоненты

Сезонная компонента имеет период колебания равный T₀. Если рассматривается ряд состояний из месячной данных, то Т₀=12, Т₀=4 для нулевого ряда квартальных данных.

Длина временного ряда [ Т ] = Т₀×m(количество лет представленных в ряду динамике)

mxT

Часто исходные данные представляются в виде матрицы элементов уij между индексами t, i, j существует связь

j = t – (i – 1) Т₀

i = t/Т₀+1

Для исследования собственно сезонных колебаний необходимо отфильтровать из временного ряда y_t сезонную компоненту V_t и затем проанализировать ее динамику.

Наиболее распространенными методами анализа сезонной волны являются итерационные методы, заключающиеся в многократном применении скользящей средней с одновременной оценкой сезонной компонентой в каждом цикле. Преимущество данных методов состоит в простоте и удовлетворительной частоте фильтрации.

А так как примирение скользящих средних приводит к потере части информации на концах временного ряда.

В качестве примера итерационного метода рассмотрит метод Четверикова.

Этапы:

1. Исходный эмпирический ряд выравнивается скользящей средней с периодом скольжения Т нулевое, то есть берется Т нулевое +1 уровней временного ряда, первый и последний из которых с половинным весом.

y₁ =½ y₁+ y₂+...+½ y_T0 + 1 / Т₀

В результате этого получается предварительная оценка тренда y_t´= U_t´

На его основе рассчитываются отклонения эмпирического ряда от выровненного.

L = y_t - y_t´

Через двойную индексацию это можно записать следующим образом:

L_ij = y_ij - y_ij´

2. Для каждого года I рассчитывается среднее квадрат чешское отклонение.

δ_i= √∑ L_ij² - (∑ L_ij)²/ Т₀ / Т₀

Затем на δ_i делятся элементы L_ij, в результате чего получается нормированное отклонение.

L_ij = L_ij/ δ_i

3. Расчет предварительной средней сезонной волны.

V_j´ = ∑ L_ij/m

m- количество лет.

4. Вычисление ряда лишенного предварительной сезонной волны.

U_ij= y_ij - V_j´·δ_i

5. Полученный ряд сглаживается скользящей средней, после чего получается новая оценка тренда U_´ij''.

6. Расчет отклонений эмпирического ряда

L_ij´´= y_ij - U_´ij''

Эти отклонения вновь подвергаются обработке по этапам 2 и 3. Для выявления окончательной средней сезонной волны.

7. Окончательное исключение средней сезонной волны путем ее умножение на коэффициент напряженности.

K_i = ∑ L_ij´´ ξ_ij / ξ_ij²

ξ_ij = L_ij´´- V_j''

ξ_ij – случайная компонента

Данный метод был предложен четвериковым в 1928 году и в отличия от ранее известных способов изучения тренда он позволяет исключить влияние сезонных волн переменных структуры.

Для измерения сезонных колебаний применяются различные механические методы:

1. Метод абсолютных разностей (предполагает нахождение абсолютных отклонений, фактических уровней от уровней найденных при выявлении основной тенденции развития). Довольно часто при анализе используется разность между фактическим уровнем и средним месячным уровнем за год.

2. Метод относительных отклонений, который определяется отношением абсолютных разностей к выровненным уровням или к среднему месячному уровню за год. После расчета абсолютных и относительных отклонений их изображают на графике. Для выявления сезонных колебаний как правило берут данные за несколько лет, обычно не менее 3-х.

Аналитические методы.

В качестве примера аналитического метода изучения сезонной волны рассмотрим метод аналитического выравнивания по функции Фурье.

При его использовании определяются параметры следующего уравнения:

ŷ_t= a₀+∑(a_kcoskt+b_ksinkt)

К данной модели прибегают в том случае, если в эмпирическом ряду наблюдается определенная периодичность изменения уровней. Показатель k определяет гармонику ряда, то есть периодичность изменения уровней в течение года. Обычно при выравнивании рассчитывают несколько гармоник. В экономическом исследовании чаще 4. Затем уже определяют какая из них наилучшим образом отражает периодичность изменения уровня ряда.

Параметры уравнения находят по способу наименьших квадратов.

a₀= ∑y/n

a_k=2∑ycoskt/n

b_k=2∑ysinkt/n

Последовательность значений времени t выражают в радианной мере или градусах и определяют от 0 с приростом 2П/n, n- число уровней эмпирического ряда.

Пример, если рассматривается ряд из месячных данных то моменты времени можно записать следующим образом = 0, П/6; П/3; П/2; 2П/3; 5П/6; П; 7П/6; 4П/3; 3П/2; 5П/3; 11П/6.

Выбор наилучшей гармонике осуществляется по наименьшей величине суммы квадратов отклонений теоретических значений от эмпирических.

Индексы сезонности.

В статистике в используют индексы сезонности, которые представляют собой отношение выровненных уровней к среднемесячному значению.

L_s= ŷ/y

Вопросы

1. Понятие и структура имитационной системы;

2. Основные этапы имитационного моделирования.

Дата добавления: 2015-06-04