Третьему- 40, четвертому - 40

200 160 80 40 0

40 80 40 40

Чтобы воспользоваться методом динамического программирования для оптимизации распределения средств между клиентами, статический процесс искусственно превратим в динамический (многошаговый).

Таким образом, каждому состоянию кроме последнего, сопоставляется набор шаговых управлений, под действием каждого из которых система может перейти в следующее состояние. Например, в начале каждого квартала нужно принять решение об обеспечении предприятия сырьем, о замене устаревшего оборудования, о финансировании и т.д.

Двигаясь по дереву слева направо, прочитываем полученное решение.

У концевых ветвей проставляем прогнозируемый доход (табл. 2).

Изображаем дерево решений, указывая все этапы процесса принятия решений.

Принять решения с помощью дерева решений - привлекать ли аудиторскую фирму и выдавать ссуду или нет.

3. Двигаясь по дереву, справа налево проставляем стоимостные оценки каждой позиции (EMV –expected monetary value):

а) для кружка вычисляем математическое ожидание прибыли (с учетом издержек)

б) для квадрата - максимум всех стоимостных оценок, следующих за ним.

EMV(B)=1905

EMV(C)=1350

EMV(D)=1905

EMV(B)=525

EMV(E)=1350

EMV(G)=1560

EMV(F)=1350

Вывод: воспользоваться аудиторской проверкой и, если выдача крелита рекомендована, то выдать кредит, если не рекомендована, то инвестировать в дело под стабильные 9%.

§ 14. Модели динамического программирования

Динамическое программирование - один из разделов экономико - математического моделирования, в котором управляемый процесс принятия решений может быть разбит на этапы. Поясним процесс управления следующей схемой:

1. Систему S за n шагов нужно перевести из исходного состояния S₀ через несколько промежуточных состояний в конечное S_n под действием шаговых управлений.

3. Выбранное шаговое управление х_к оценивается частным критерием g_k, т.е. вычисляется значение g_k (х_к), называемое выигрышем на к-м шаге.

4. Требуется найти такой набор шаговых управлений (назовем его оптимальным), который обращает в максимум суммарный критерий G = g₁ + g₂ +…..g_n.

Замечание

Вовсе не очевидно, что для нахождения оптимального набора шаговых управлений нужно находить максимум частных критериев. Наоборот, принцип оптимальности Беллмана утверждает, что шаговое управление на каждом шаге выбирается так, чтобы максимизировать не только этот шаг, но и все последующие. Тем самым, шаговое управление следует выбирать дальновидно, с учетом его последствий. В этом и состоит принцип Беллмана, относящийся к 50-м годам 20-го века.

Пример: задача распределения средств.

Совет директоров фирмы рассматривает предложения по наращиванию производственных мощностей на четырех предприятиях фирмы. Для расширения производства совет директоров выделяет средства в объеме 200 млн. $.

Как же связаны дополнительные средства с наращиванием производственных мощностей?

Аналитиками фирмы составлена таблица, в которой указаны возможные приращения мощностей (в денежном выражении) в зависимости от выделенной предприятию суммы:

Табл.1

Клиент	g1	g2	g3	g4
Сумма

Рис. 14.1

Столбцы в табл. 1 это и есть частные критерии, оценивающие каждый шаг.

Следуя принципу Беллмана оптимизацию начинаем с последнего 4- го шага (почему?), затем 3-го и т.д.

1. Оптимизация 4-го шага, т.е. решение задачи:

max {g₄ (x₄) } = (обозначим)= Z ₄ (S₃) → табл. 2

Табл.2

x4							Z4 (S3)	x4^*
S3
		-	-	-	-	-
			-	-	-	-
				-	-	-
					-	-
						-

2. Оптимизация 3-го шага, т.е. решение задачи:

max {g₃ (x₃) + Z ₄ (S₂ - x₃) } = Z ₃ (S₂) → табл. 3

Табл.3

x3							Z3 (S2)	x3^*
S2
	0+0=0	-	-	-	-	-
	0+4=4	3+0=3	-	-	-	-
	0+6=6	3+4=7	4+0=4	-	-	-
	0+8=8	3+6=9	4+4=8	7+0=7	-	-
	0+13=13	3+8=11	4+6=10	7+4=11	11+0=11	-
	0+16=16	3+13=16	4+8=12	7+6=13	11+4=15	18+0=18

3. Оптимизация 2-го шага, т.е. решение задачи:

max {g₂ (x₂) + Z ₃ (S₁ - x₂) } = Z ₂ (S₁) → табл. 4

Табл.4

x2							Z2 (S1)	x2^*
S1
	0+0=0	-	-	-	-	-
	0+4=4	6+0=6	-	-	-	-
	0+7=7	6+4=10	9+0=9	-	-	-
	0+9=9	6+7=13	9+4=13	11+0=11	-	-
	0+13=13	6+9=15	9+7=16	11+4=15	13+0=13	-
	0+18=18	6+13=19	9+9=18	11+7=18	13+4=17	15+0=15

4. Оптимизация 1- го шага → табл.5

max {g ₁ (x₁) + Z ₂ (S₀ - x₁) } = Z ₁(S₀) → табл. 5

Табл.5

x1							Z1 (S0)	x1^*
S0
	0+19 =19	8+16=24	10+13=23	11+10=21	12+6=18	18+0=18

5. Обратный ход – окончательный оптимальный набор шаговых уравнений

S₀ → S₁ → S₂ → S₃ → S₄

ВЫВОД: ПЕРВОМУ КЛИЕНТУ ВЫДЕЛЯЕМ 40, ВТОРОМУ-

Дата добавления: 2015-06-04