КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Тема 2.10. Устойчивость центрально сжатых стержнейДля заметок. Вопросы для самопроверки. 1. На каком принципе основан расчет на прочность деталей с учетом сил инерции? В чем этот принцип заключается? 2. На каких допущениях основан расчет деталей на прочность при ударе? 3. В какой последовательности вычисляют динамические напряжения и перемещения, возникающие в детали при ударе? 4. Чему равен динамический коэффициент при внезапном приложении к детали нагрузки? 5. Как определить динамический коэффициент при внезапном приложении к детали нагрузки? 6. Как определить динамический коэффициент при ударе по упругой системе горизонтально движущимся телом? 7. Как уменьшить динамические нагрузки и напряжения, возникающие в элементах конструкций при ударах?
2.10.1. понятие об устойчивости формы равновесия упругих тел. 2.10.2. Критическая сила. Коэффициент запаса устойчивости. Формула Эйлера. 2.10.3. Критическое напряжение. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского. 2.10.1.В теме 2.2. показано, что прочность стержня при сжатии не нарушается, если возникающее в его поперечных сечениях напряжение не превышает предельного значения для материала, из которого изготовлен стержень. Длину стержня при его расчете на прочность не учитывали. Однако, как показывает опыт, потеря работоспособности стержня может произойти при напряжениях, значительно меньших предела текучести или прочности, вследствие того что стержень не сохранит свою начальную прямолинейную форму. Если взять, например, линейку и приложить к ней сжимающие силы, то при некотором их значении линейка начнет изгибаться, т. е. потеряет свою начальную прямолинейную форму. Напряжения сжатия в поперечных сечениях линейки при этом значительно ниже предела текучести. При дальнейшем даже незначительном увеличении силы линейка будет продолжать изгибаться до тех пор, пока не сломается. Очевидно, для надежной работы конструкции, включающей длинные тонкие (гибкие) стержни, необходимо, чтобы они устойчиво сохраняли форму равновесия. Из курса теоретической механики известны три вида равновесия тел: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Равновесие тела называют устойчивым, если отклоненное от положения равновесия тело после устранения причины, вызывающей это отклонение, возвращается в исходное положение.Если отклонение тела после устранения причины, его вызвавшей, продолжает увеличиваться, то равновесие неустойчивое. Например, шар, лежащий на выпуклой сферической поверхности. Аналогично можно выделить три вида упругого равновесия длинного тонкого (гибкого) стержня, нагруженного сжимающей силой. Пока сила меньше определенного для данного стержня значения, стержень устойчиво сохраняет прямолинейную форму равновесия (рис. 2.10.1. А). При приложении к стержню поперечной нагрузки он изогнется, а после ее снятия выпрямится. При постепенном увеличении силы, сжимающей стержень, требуется все меньшая нагрузка для его изгиба, и после ее снятия стержень все медленнее, как бы «неохотнее», возвращается к первоначальной прямолинейной форме. Наконец, при некотором значении продольной сжимающей силы стержень не выпрямится, а останется изогнутым — прямолинейная форма равновесия стержня перестала быть устойчивой (рис. 2.10.1. Б). При этой нагрузке стержень находится в безразличном равновесии — можно немного изменить прогиб и стержень сохранит приданную ему форму. Если нагрузку немного уменьшить, стержень выпрямится, если даже незначительно увеличить — стержень будет изгибаться до тех пор, пока не приобретет устойчивую криволинейную форму равновесия или не разрушится. Можно на простом опыте с линейкой заметить, что после потери устойчивости прямолинейной формы равновесия даже небольшим приращениям сжимающей силы соответствуют большие приращения прогиба стержня. Изгиб стержня, связанный с потерей устойчивости прямолинейной формы равновесия, называют продольным.
2.10.2. Наибольшее значение центрально приложенной сжимающей силы , при котором стержень еще устойчиво сохраняет прямолинейную форму равновесия, называют критическим. Потеря устойчивости прямолинейной формы равновесия нарушает нормальную работу конструкции, поэтому критическую силу рассматривают как предельную. Потеря устойчивости формы упругого равновесия возможна не только для гибких стержней, нагруженных сжимающей силой, но и для таких элементов конструкций, как тонкостенные оболочки, пластины и др. Условие устойчивости прямолинейной формы упругого равновесия стержня имеет вид , где F — действующая на стержень сжимающая сила; — допускаемый коэффициент запаса устойчивости.
Формула для определения критической силы сжатых стержней получена академиком Петербургской академии наук Л. Эйлером (1744 г.). Пусть стержень с шарнирно закреплёнными концами нагружен центрально приложенной сжимающей силой (рис. 2.10.1.), тогда значение критической силы вычисляется по формуле , (2.10.1.) где - длина стержня, - модуль Юнга, - наименьший осевой момент инерции сечения (продольный изгиб стержня при потере устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, т. е. все сечения стержня поворачиваются относительно оси с наименьшим моментом инерции сечения). Для стержней с другими видами закрепления их концов формулы отличаются от (2.10.1.) только числовым множителем в знаменателе. В общем случае при любом закреплении концов стержня формулу для критической силы, называемую формулой Эйлера, записывают в виде , (2.10.2.) где — приведенная длина стержня; — коэффициент приведения длины. Выражение «приведенная длина» означает, что в формуле Эйлера с помощью коэффициента все случаи закрепления концов стержня можно привести к основному, шарнирному закреплению, для которого и была выведена формула. На рисунке 2.10.2. показаны наиболее часто встречающиеся на практике случаи закрепления концов стержня и соответствующие им значения коэффициента Из формулы Эйлера (2.10.2.) следует, что нельзя увеличить критическую силу, применив для стержня более прочную сталь, так как в формулу входит единственная характеристика материала — модуль упругости , значение которого для всех марок сталей примерно одинаково. 2.10.3. Критическим называют напряжение, возникающее в поперечном сечении стержня, нагруженного критической силой: . Подставив выражение для критической силы (2.10.2.), получим . Объединим две характеристики сечения и в одну, называемую минимальным радиусом инерции сечения: , тогда . (2.10.3.) Отношение приведенной длины стержня к минимальному радиусу инерции называют гибкостью стержня . (2.10.4.) С учетом (2.10.4.) формула (2.10.3.) для критического напряжения примет вид Вывод формулы Эйлера основан на интегрировании дифференциального уравнения упругой линии, следовательно, она справедлива только для случая, когда критические напряжения в стержне не превышают предела пропорциональности материала, т. е. в пределах применимости закона Гука. Следовательно, формула Эйлера применима при условии , или . Наименьшую гибкость стержня, при которой еще применима формула Эйлера, называют предельной: . Условие применимости формулы Эйлера можно записать в виде . т. е. при гибкости стержня меньше предельной формула Эйлера для определения критической силы неприменима. Заметим, что значение предельной гибкости зависит только от материала стержня. Например, для стали СтЗ с характеристиками = 2 • 1011 Па, = 200 МПа . Если гибкость стержня меньше предельной и формула Эйлера неприменима, расчет стержня на устойчивость выполняют по эмпирической формуле Ясинского , где и — коэффициенты, зависящие от материала (например, для стали СтЗ = 310 МПа, = 1,14 МПа). При некотором значении гибкости стержня критическое напряжение, определяемое по формуле Ясинского, становится равным предельному напряжению при сжатии. Стержни, имеющие гибкость , называют стержнями малой гибкости и рассчитывают на прочность при сжатии. Стержни с называют стержнями средней гибкости и рассчитывают на устойчивость по формуле Ясинского. Стержни большой гибкости, имеющие , рассчитывают на устойчивость по формуле Эйлера. Условие устойчивости, как и условие прочности, позволяет выполнять три вида расчетов: проверочный, проектный и определение допускаемой нагрузки. Анализ формул Эйлера и Ясинского показывает, что критические значения силы и напряжения зависят от минимального момента инерции поперечного сечения стержня. В связи с этим для гибких стержней, нагруженных сжимающей силой, рациональными являются сечения, имеющие одинаковые моменты инерции относительно любых центральных осей. Наиболее рациональны кольцевые и тонкостенные коробчатые сечения.
Дата добавления: 2015-06-30; Просмотров: 1447; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |