Поля Галуа

Поле

Поле – это множество элементов замкнутое относительно двух бинарных операций – умножения и сложения. Под замкнутостью нужно понимать, что результат выполнения операций не выходит за пределы поля. Для поля выполняются следующие аксиомы:

1. Операция умножения обозначается как , сложение, как .

2. Результатом умножения и сложения элементов поля является элемент также из этого поля.

3. Для любого элемента поля не равного нулю, существует обратный элемент по сложению и умножению, так что и

4. Поле всегда содержит мультипликативную единицу 1, так что и аддитивную единицу 0, так что .

5. Для умножения и сложения выполняются правила ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности.

Конечное поле или поле Галуа – это поле (далее конечное поле обозначено, как GF(p)), содержащее конечное число элементов. Нужно отметить, что аксиомы 1 – 5, справедливы, как для поля с конечным числом элементов, так и с бесконечным, но главное отличие конечных полей от бесконечных определяет аксиома 2. Из этого вытекает, что на понятие «умножение» и «сложение» накладывается ряд ограничений. Выполнение аксиомы 2 осуществляется выполнением по модулю некоторого числа p, называемым характеристикой поля.

Конечные поля существуют не при любом числе элементов, а только когда количество элементов поля – простое число p или его степень p^m, где m – целое положительное число. В первом случае поле называется простым и обозначается, как GF(p), а во втором называется расширением простого поля и обозначается GF(p^m).

Рассмотрим некоторое поле GF(p). Такое поле содержит p элементов, операции сложения и умножения над элементами этого поля производятся по модулю числа p. Рассмотрим расширение этого поля - GF(p^m). Элементами расширения поля будут являться полиномы степени и меньше, с коэффициентами из поля GF(p). Приведем аналогию - простое поле содержит буквы алфавита, а расширение этого поля содержит слова определенной длины, составленные по некоторым правилам из букв, лежащих в основном поле.

Дата добавления: 2015-07-02