Оценка эксперта: 2 балла

Комментарий.

Почти правильное решение. Есть один обидный (по невнимательности?) прокол: перед выплатой в июле оставшаяся половина долга также увеличивается на 5%

§6 Критерии проверки и оценка решений заданий №20 вариантов КИМ ЕГЭ-2015

Как это обычно бывает, задачи с параметром допускают весьма разнообразные способы решения. Наиболее распространенными из них являются:

- чисто алгебраический способ решения;

- способ решения, основанный на построении и исследовании геометрической модели данной задачи;

- функциональный способ, в котором могут быть и алгебраические, и геометрические моменты, но базовым является исследование некоторой функции.

Зачастую (но далеко не всегда) графический метод более ясно ведет к цели.

Ниже процитированы задачи двух типов из материалов ЕГЭ 2014 и 2013 гг., их решения, ответы и критерии проверки, действовавшие на соответствующий год проведения экзамена. Далее в Части 1 приведены 6 примеров решений этих задач на ЕГЭ вместе с комментариями по оценке и самими оценками. Подчеркнем, что каждая задача оценивалась по критериям соответствующего года проведения ЕГЭ. В Части 2 также приведены примеры решений этих же задач, но оценки верности этих решений следует проверить самостоятельно. В Части 3 для проведения зачета выбраны только решения задачи 1 (ЕГЭ-2014) и ее версий.

Задача 1 и ее версии по самому условию ориентирована не на геометрический способ решения: практически сразу «видна» новая переменная, относительно которой получается квадратное уравнение. Его исследование может быть проведено различными способами, из которых ниже выбран подход, по существу связанный с исследованием функции . В таком стиле, но без введения второго параметра, действовало, пожалуй, большинство участников ЕГЭ-2014, получивших положительные баллы за выполнение задания С5.

В решениях с ненулевыми баллами задачи 2 и аналогичных ей заданий чаще всего использовались графики. Из фиксированной на оси ординат точки проводились два луча: один – через точку «излома», другой – касательный к графику функции. Ответом являлся интервал между угловыми коэффициентами этих лучей. Так действовали многие, но большинство все-таки не получали оценки выше 1 балла.

Дело в том, что многие пропускали («это очевидно», «см. рис.») проверку того, что абсцисса точки касания действительно лежит правее абсцисс точки излома, т.е., что изображенная картинка соответствует истинному положению дел. По критериям, только при наличии такой проверки можно было выставлять более 1 балла (хватало и просто явного указания абсциссы точки касания). Аналогично, при алгебраическом подходе для получения 2-х баллов недостаточно просто приравнять к нулю дискриминант нужного квадратного уравнения: нужно еще указать, что соответствующий корень действительно больше абсциссы точки излома.

Задача 1

Найдите все значения , при которых уравнение

имеет ровно два решения.

Решение. Пусть , тогда уравнение запишется в виде , откуда или . Значит, решения исходного уравнения — это решения уравнений
или .

Исследуем, сколько решений имеет уравнение в зависимости от и . При и
и , то есть при , левая часть определена и принимает вид . При выражение принимает
по одному разу все значения из промежутка для и принимает по одному разу все значения из промежутка для . Значит,
при выражение принимает по одному разу все значения из промежутка при и принимает по одному разу все значения из промежутка при . Таким образом, уравнение имеет одно решение при и не имеет решений при и . При и уравнение принимает вид и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.

Уравнения и
могут иметь общие решения при , то есть при . При оба уравнения принимают вид
и имеют одно решение.

При других значениях исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения и
имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:

то есть ; . Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при ; ; .

Ответ: ; ; .

Содержание критерия, задача №1	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек и/или
С помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений a: или ; возможно, с включением граничных точек и/или исключением точки
Верно найдена хотя бы одна из граничных точек множества значений a: или ; ИЛИ получено хотя бы одно из уравнений или
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Задача 2.

Найдите все значения , при каждом из которых уравнение

на промежутке имеет более двух корней.

Решение. Рассмотрим функции и . Исследуем уравнение на промежутке .

При все значения функции на промежутке отрицательны, а все значения функции — неотрицательны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке .

При функция возрастает. Функция убывает на промежутке , поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке , причём решение будет существовать тогда и только тогда, когда , откуда получаем , то есть .

На промежутке уравнение принимает вид . Это уравнение сводится к уравнению . Будем считать, что ,

поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения , поэтому при это уравнение не имеет корней; при уравнение имеет единственный корень, равный 2; при уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня и , то есть , то больший корень , поэтому он принадлежит промежутку . Меньший корень принадлежит промежутку тогда и только тогда, когда

, то есть .

Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней на промежутке :

– нет корней при ;

– один корень при и ;

– два корня при и ;

– три корня при .

Содержание критерия, задача №2	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Максимальный балл

Примеры оценивания решений заданий №20 (С5)

Дата добавления: 2015-07-02