Программа по линейной алгебре

1. Множества и операции над ними. Способы задания множеств. Пространства.

2. Отображения. Композиция отображений. Взаимно-однозначные (биективные) отображения. Обратимые и обратные отображения.

3. Комплексные числа и алгебраические операции над ними. Комплексная плоскость, модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

4. Многочлены и алгебраические уравнения. Определения. Разложение многочлена. Основная теорема алгебры (теорема Гаусса) и ее следствия. Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами.

5. Системы линейных уравнений. Основные определения: решения, совместность, несовместность, определенность, неопределенность, равносильность систем. Однородные системы. Элементарные преобразования систем (теорема).

6. Методы Гаусса и Жордана-Гаусса решения систем линейных уравнений общего вида. Общее, частное, базисное решения; система, приведенная к единичному базису, базисные и свободные переменные. Ранг системы уравнений, максимальное число базисных решений. Жордановы исключения, их применения к решению систем линейных уравнений и отысканию базисных решений.

7. Матрицы и векторы. Основные определения. Линейные операции над векторами и матрицами. Частные виды матриц: квадратная, диагональная, единичная, строка, столбец. Произведение матриц и его свойства.

8. Операция транспонирования матриц и ее свойства.

9. Обратная матрица и ее построение (метод Жордана-Гаусса)

10. Матричный оператор. Построение матрицы по матричному оператору (лемма). Линейность матричного оператора. Композиция матричных операторов. Обратимость матричного оператора.

11. Матричная форма записи систем линейных уравнений и матричный способ ее решения.

12. Определители. Определители n -ого порядка: определение и основные свойства.

13. Разложение определителя по любому столбцу и дальнейшие свойства определителя. Теорема аннулирования. Транспонирование определителя. Определители специальных матриц.

14. Применение определителей к решению систем линейных уравнений. Теорема (формулы) Крамера.

15. Вырожденная, невырожденная матрицы. Критерий обратимости матрицы. Вычисление обратной матрицы через алгебраические дополнения.

16. Линейные векторные пространства. Определение векторного пространства. Аксиомы и следствия из них. Примеры.

17. Линейная комбинация, линейная оболочка векторов. Линейная зависимость системы векторов: определения и основные свойства.

18. Размерность и базис векторного пространства. Теоремы: о числе элементов базиса, о виде базиса в n -мерном пространстве, о дополнении до базиса. Критерий линейной независимости n векторов в .

19. Координаты вектора в данном базисе. Разложение вектора по базису. Линейные операции над векторами в координатной форме. Изоморфизм векторных пространств (определение, критерий).

20. Переход к новому базису. Матрица перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

21. Подпространства векторного пространства: определения, примеры.

22. Линейные операторы. Определение линейного оператора, примеры. Образ и ядро линейного оператора, основные свойства.

23. Теорема о структуре множества решений неоднородного линейного уравнения, следствия.

24. Матрица линейного оператора. Однозначное соответствие между матрицей и оператором.

25. Операции над линейными операторами, действующими в фиксированном пространстве: сумма, умножение на число, произведение. Обратный оператор и его матрица.

26. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Определение, процедура их отыскания. Приведение матрицы линейного операторы к диагональному виду. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям.

27. Евклидово пространство. Скалярное произведение, примеры скалярного произведения в . Евклидово векторное пространство. Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского, неравенство треугольника. Угол между векторами. Ортогональные и ортонормированные базисы. Процедура ортогонализации базиса в евклидовом пространстве. Скалярное произведение и норма вектора в ортонормированном базисе.

28. Ортогональные подпространства, ортогональность их базисных векторов. Ортогональные дополнения и их свойства.

29. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Самосопряженные операторы и их матрицы. Свойства самосопряженного оператора.

30. Линейные функционалы: определения, примеры. Теоремы об общем виде линейных функционалов.

31. Квадратичные формы: определения, примеры. Квадратичная форма в , ее матрица. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов (каноническому виду). Знакоопределенность квадратичных форм.

32. Линейные геометрические объекты. Гиперплоскость в : общее уравнение; нормальный вектор и его свойства, частные виды уравнений. Прямая в : параметрическое, каноническое, общее уравнение; уравнение по двум точкам.

33. Прямая и гиперплоскость в : углы, условия параллельности и ортогональности гиперплоскостей, прямых и друг с другом.

34. Расстояния между двумя точками, от точки до гиперплоскости. Уравнение отрезка и его середина.

35. Прямая линия на плоскости: общее уравнение и с угловым коэффициентом. Построение прямой линии по общему уравнению.

36. Гиперповерхности уровня линейных функционалов и квадратичных форм.

37. Выпуклые множества. Системы линейных неравенств Линейные задачи оптимизации, графический способ их решения.

.

Список рекомендуемой литературы

1. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1974. – 296 с.

2. Петрова В.Т. Лекции по алгебре и геометрии: учебник для вузов: в 2х ч. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. – Ч.1. – 312 с.

3. Петрова В.Т. Лекции по алгебре и геометрии: учебник для вузов: в 2х ч. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАД ОС, 1999. – Ч.2. – 344 с.

4. Воеводин В.В. Линейная алгебра. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. – 400 с.

5. Мальцев А.И. Основы линейной алгебра. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. – 400 с.

6. Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. – 496 с.

7. Беклимишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – 4-е изд.– М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. – 336 с.

8. Солопова О.Г. Линейная алгебра. Учебное пособие. Ростов-на-Дону: РГЭУ (РИНХ), 2004, - 190 с.

9. Левендорский С.З. Курс аналитической геометрии (метод. указ.) – Ростов-на-Дону: РИНХ, 1989. – 38 с.

10. Кудрявцев В.А., Демидович Б.Л. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985.

11. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. – 464 с.

12. Карпелевич Ф.И., Садовский Л.Е. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. – 274 с.

13. Батищева Г.А., Левендорский С.З. Системы линейных уравнений. Матрицы и векторы (методические указания). Ч. 1 – Ростов-на-Дону: РИНХ, 1995. – 45 с.

14. Батищева Г.А., Левендорский С.З. Системы линейных уравнений. Определители. Ч. 2. – Ростов-на-Дону: РГЭА, 1995.

15. Батищева Г.А.,Кисилева Н.Н., Левендорский С.З. Множества. Отображение множеств. Методические указания по изучению курса высшей математики.– Ростов-на-Дону: РИНХ, 1991.

16. Батищева Г.А., Левендорский С.З. Линейные операторы (методические указания). – Ростов-на-Дону: РИНХ, 1992.

17. Батищева Г.А., Левендорский С.З. Евклидово пространство. Линейные функционалы и квадратичные формы (методические указания).– Ростов-на-Дону: РИНХ, 1992.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера

Задание 2. Решить систему уравнений матричным способом

Задание 3. Решить систему уравнений методом исключения неизвестных (методом Жордана-Гаусса); найти базисное решение системы.

Задание 4. Показать, что векторы а₁, а₂, а₃ образуют базис в R ³ и разложить вектор а₄ по этому базису.

31. а₁ = (2; 1; 3), а₂ = (-4; -2; -1), а₃= (3; 4; 5), а₄ = (1; 3; 2).

32. а₁ = (2; 1; 4), а₂ = (-3; 5; 1), а₃= (1; -4; -3), а₄ = (2; -5; -4).

33. а₁ = (2; 3; 1), а₂ = (-1; 2; -2), а₃= (1; 2; 1), а₄ = (2; -2; 1).

34. а₁ = (1; 2; 1), а₂ = (2; -1; 3), а₃= (3; -1; 4), а₄ = (5; 1; 6).

35. а₁ = (2; 2; -1), а₂ = (0; 4; 8), а₃= (-1; -1; 3), а₄ = (1; 1; 2).

36. а₁ = (1; -2; 1), а₂ = (1; 1; 1), а₃= (-1; 1; 1), а₄ = (2; 3; 6).

37. а₁ = (3; -2; 2), а₂ = (-1; 1; -1), а₃= (0; 1; 4), а₄ = (5; 0; 15).

38. а₁ = (5; 1; 4), а₂ = (0; -1; 1), а₃= (4; 2; 2), а₄ = (1; 0; 1).

39. а₁ = (2; 3; 1), а₂ = (2; 2; 1), а₃= (-1; -3; -2), а₄ = (4; 7; 3).

40. а₁ = (2; -1; 4), а₂ = (1; -2; 2), а₃= (-1; 2; 1), а₄ = (-4; 14; 7).

Задание 5. Дана матрица А линейного оператора в . 1). Построить матричный оператор, заданный матрицей А. 2). Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора (матрицы). 3). Привести квадратичную форму, заданную матрицей А в , к каноническому виду, а также найти ортонормированный базис, в котором она имеет этот вид. 4). Построить линии уровня квадратичной формы.

41. А= .	46. А= .
42. А= .	47. А= .
43. А= .	48. А= .
44. А= .	49. А= .
45. А= .	50. А= .

Задание 6. Дан треугольник с вершинами A(x ₁, y ₁), B(x ₂, y ₂), C(x ₃, y ₃). Найти:

(а) уравнение стороны АС;

(б) уравнение высоты АК;

(в) длину средней линии MP(параллельно стороне BC);

(г) угол ^ ;

(д) точку пересечения высот треугольника.

51. А (-4,0), B (-2,6), C (2,2).

52. A (-3,0), B (-1,6), C (3,2).

53. A (-2,0), B (0,6), C (4,2).

54. A (-1,0), B (1,6), C (5,2).

55. A (0,0), B (2,6), C (6,2).

56. A (1,0), B (3,6), C (7,2).

57. A (2,0), B (4,6), C (8,2).

58. A (3,0), B (5,6), C (9,2).

59. A (4,0), B (6,6), C (10,2).

60. A (-5,0), B (-1,6), C (1,2).

Задание 7. Найти:

а) уравнение прямой , проходящей через точки А(x ₁, y ₁, z ₁); B(x ₂, y ₂, z ₂).

б) уравнение плоскости , проходящей через точку С(0, y ₃, 1) перпендикулярно прямой .

в) уравнение плоскости, проходящей через три точки А(x ₁, y ₁, z ₁); B(x ₂, y ₂, z ₂), С(0, y ₃, 1)

г) точку пересечения прямой с плоскостью H: a x +b y +c z +1=0.

61. A(1,2,3), B(3,4,4), C(0,-3,1), H: 3 x + y +2 z +1=0.

62. A(1,1,2), B(3,2,3), C(0,-4,1), H: 2 x + y + z +1=0.

63. A(1,1,1), B(3,3,2), C(0,-4,1), H: x + y + z +1=0.

64. A(1,1,3), B(3,2,4), C(0,-4,1), H: 3 x + y + z +1=0.

65. A(2,1,1), B(5,2,2), C(0,-4,1), H: x +2 y + z +1=0.

66. A(2,2,1), B(5,4,2), C(0,-3,1), H: x +2 y +2 z +1=0.

67. A(3,2,1), B(7,4,2), C(0,-3,1), H: x +3 y +2 z +1=0.

68. A(3,2,2), B(7,4,2), C(0,-3,1), H: 2 x +3 y +2 z +1=0.

69. A(4,1,1), B(9,2,2), C(0,-4,1), H: x +4 y + z +1=0.

70. A(4,2,1), B(9,4,2), C(0,-3,1), H: x +4 y +2 z +1=0.

Задание 8. Решить графическим методом задачу линейной оптимизации

81. 82.

83. 84.

85. 86.

87. 88.

89. 90.

Дата добавления: 2015-07-02