Второй замечательный предел

.

Если функция имеет предел при, то записывают

.

Или.

Если функция имеет предел справа в точке, то записывают

.

Определение. Число называется пределом функции при , если для любого положительного числа существует положительное число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Аналогично определяется предел при .
Определение. Если существуют пределы функции при и при и если эти пределы равны , то говорят, что число является пределом функции при и записывают

Признак сходимости последовательности.Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Этот признак легко иллюстрируется с помощью числовой оси: двигаясь по ней в одну сторону и не имея возможности перейти через поставленный барьер, мы неограниченно приблизимся к некоторой точке числовой оси.

В примере с корнями где а каждый следующий член последовательности вычисляется по рекуррентной формуле или последовательность (a_n) возрастающая и ограниченная. Действительно, сначала проверим, что a_n < 2 при всех n.Применим индукцию: Если a_n < 2, то a_n + 2 < 4 и что и утверждалось. Теперь докажем возрастание последовательности. Нам надо доказать, что больше, чем a_n, т. е. проверить неравенство Так как a_n > 0, то его можно возвести в квадрат и получить для проверки неравенство Решая неравенство x² – x – 2 < 0, получим промежуток (–1; 2), в котором лежат числа последовательности (0 < a_n < 2). Существование предела полностью доказано.

Принцип сжатой последовательности.Если последовательности (x_n) и (z_n) сходятся к числу а, а последовательность (y_n) такова, что при всех n выполняются неравенства x_n ≤ y_n ≤ z_n то последовательность (y_n) сходится к числу а.

В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка: – это иррациональное число.

В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

Пример 6

Найти предел

Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.

Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение , по какому принципу это делается, разобрано на уроке Пределы. Примеры решений.

Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :

Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень :

Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:

Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :

При этом сам значок предела перемещаем в показатель:

Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен.

Пример 7

Найти предел

Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.

Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:

В результате получена неопределенность . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас , значит, в числителе тоже нужно организовать :

Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Вроде бы основание стало напоминать , но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной:

Таким образом, основание приняло вид , и, более того, появилась нужная нам неопределенность . Организуем второй замечательный предел .
Легко заметить, что в данном примере . Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени в , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в обратную дробь :

Наконец-то долгожданное устроено, с чистой совестью превращаем его в букву :

Но на этом мучения не закончены, в показателе у нас появилась неопределенность вида , раскрывать такую неопределенность мы научились на уроке Пределы. Примеры решений. Делим числитель и знаменатель на :

Готово.

А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом: . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так:

Пример 8

Найти предел

Сначала (мысленно или на черновике) пробуем подставить ноль (бесконечно малое число) в выражение, стоящее под знаком предела:

В результате получена знакомая неопределенность . Очевидно, что в данном примере . С помощью знакомого искусственного приема организуем в показателе степени конструкцию :

Выражение со спокойной душой превращаем в букву :

Еще не всё, в показателе у нас появилась неопределенность вида . Раскладываем тангенс на синус и косинус (ничего не напоминает?):

Косинус нуля стремится к единице (не забываем помечать карандашом), поэтому он просто пропадает в произведении:

А что такое и к чему оно стремится, нужно уже знать, иначе «двойка»!

Дата добавления: 2015-07-02