Теорема об арифмитическом свойстве пределов

Если lim (x->a) f(x)=A (+/- oo); lim (x->a) g(x)=B (+/- oo); то
1) lim (x->a) (f(x) +/- g(x)) = A+/- B
2) lim (x->a) f(x)*g(x) = A*B
3) lim (x->a) f(x)/g(x)=A/B (B<>0 g(x)<>0)

Достаточные условия существования конечного предела функции. Теорема (об арифметике). Если для и существуют конечные пределы, то для их суммы и произведения также существуют конечные пределы, причем:;. Если, то существует конечный предел частного:. Док-во. Докажем, например, второе равенство. Пусть существуют конечные пределы и. Докажем, что существует конечный предел. Итак, мы должны доказать, что:. Возьмем произвольное. Найдем из условия, т.е. для этого:. Найдем из условия, т.е. для этого:. Т.к. для по условию существует конечный предел в т., то эта функция будет ограниченной в некоторой окрестности т. (по теореме о локальной ограниченности), т.е. - некоторой константы. Положим. Проверим, что это - искомое. Действительно, В силу произвольности можно считать утверждение доказанным (или можно было искать не по, а по). ▲
5) Теорема о сжатой переменной

Формулировка: Если существуют 3 последовательности, элементы одной из которых начиная с некоторого номера будут между элементами двух других при равных номерах, а также 2 другие последовательности имеют конечные пределы, и эти пределы равны, то наша последовательность тоже будет сходится к конечному пределу,и этот предел будет равен пределам двух других последовательностей.

Доказательство:

а_n<b_n<c_n начиная с некоторого N
предел а_n равен d и предел c_n равен d
(!) что у последовательности b_n тоже есть предел и он равен d
рассмотрим E>0
предел а_n равен d, следовательно существует номер N₁, начиная с которого |а_n-d|<E, то есть E-d<а_n<E+d
предел c_n равен d, следовательно существует номер N₂, начиная с которого |а_n-d|<E, то есть E-d<c_n<E+d
выберем наибольший из номеров (N)
тогда:
E-d<а_n<b_n<c_n<E+d
то есть E-d<b_n<E+d, следовательно последовательность b_n имеет конечный предел и он равен d (если последнее не понятно из предыдущей записи, то просто смотрим на теорему №4: предел b_n не меньше и не больше d, следовательно равен)
что и требовалась доказать.

2.теорема о сжатой переменной. n>N1 Xn³Zn³Yn $ limXn = lim Yn = a (n®¥) => $ lim Zn=a (n®¥)

Док-во: 1. из того, что $ lim Xn=a (n®¥) => n>N2 |Xn-a|a-E => lim Zn=a (n®¥)

Функция y=f(x) наз-ся ограниченной в данной обл-ти изменения аргумента Х, если сущ-ет положит число М такое, что для всех значений Х, принадлежащих рассматриваемой обл-ти, будет выполн-ся нер-во |f(x)|£M. Если же такого числа М не сущ-ет, то f(x) наз-ся неограниченной в данной обл-ти.

Бесконечно малая величина.

Величина Xn наз-ся бесконечно малой при n®¥, если lim Xn = 0 (n®¥). "E>0, N0, n>N0, |Xn| " E/2 $N1, n>N1 |Xn|" E/2 $N2, n>N2 |Yn|N0, |Xn±Yn|£|Xn|+|Yn| lim(Xn±Yn)=0 (n®¥). Теорема справедлива для любого конечного числа б.м. слагаемых.

2.Произведение ограниченной величины на б.м. величину есть величина б.м.

Док-во:Xn – огр. величина => $ K, |Xn| £ K,

Yn – б.м. => " E/K $N0 n>N0 |Yn| "E $N0 n>N0 |Xn-a| Xn=a+Yn. Справедливо и обратное: если переменную величину можно представить в виде суммы Xn=a+Yn (Yn – б.м.), то lim Xn=a (n®¥).

Бесконечно большая величина

Xn – бесконечно большая n®¥, если "M>0 $N0, n>N0, |Xn|>M => MN1 |Xn|>M

из Yn – б.б. => "M $ N2, n>N2 |Yn|>M

N0=max(N1, N2) => |Xn*Yn|=|Xn||Yn|>MM=M2>M

Lim XnYn=¥ (n®¥).

2.Обратная величина б.м. есть б.б. Обратная величина б.б. есть б.м. lim Xn=¥ (n®¥) – б.б. Yn=1/Xn – б.м. Из lim Xn=¥ => M=1/E $N0, n>N0 |Xn|>M =>n>N0.

|Yn|=1/|Xn|Yn – б.м. => lim Yn=0 (n®¥).

3.Сумма б.б величины и ограниченной есть б.б. величина.

Первый замечательный предел имеет вид:

На практике чаще встречаются модификации первого замечательного предела в виде

где, k – коэффициент.

Пояснение:

Следствия первого замечательного предела:

1.

2.

Эти следствия очень просто доказываются, если использовать правило Лопиталя или заменуэквивалентных бесконечно малых функций.

Разберем несколько примеров нахождения предела по первому замечательному пределу с подробным оприсанием решения.

Пример.

Найти предел не пользуясь правилом Лопиталя

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Смотрим в таблицу неопределенностей для определения метода решения. Комбинация синуса и его аргумента подсказывает нам о применении первого замечательного предела, но для этого сначала нужно немного преобразовать выражение. Домножим на 3х и числитель и знаменатель дроби.

В силу следствия из первого замечательного предела , поэтому приходим к результату:

Ответ:

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Преобразуем числитель, используя формулы тригонометрии.

Стало видно, что здесь можно применить первый замечательный предел:

Ответ:

Пример.

Вычислить предел

Решение.

Подставляем значение:

Пришли к неопределенности ноль делить на ноль. Сделаем замену.

Пусть

, следовательно, при .

Тогда предел после замены переменной примет вид:

Ответ:

Раскрытие неопределенностей

Неопределенности типа Пусть заданы две функции f (x) и g (x), такие, что В этом случае говорят, что функция имеет неопределенность типа в точке x = a. Чтобы найти предел при x = a когда функция содержит неопределенность , нужно разложить на множители числитель и/или знаменатель и затем сократить члены, стремящиеся к нулю. Примечание: В данном разделе при вычислении пределов не используется правило Лопиталя. Неопределенности типа Пусть две функции f (x) и g (x) обладают свойством где a является действительным числом, либо стремится к + ∞ или − ∞. Говорят, что в этом случае функция имеет в точке a неопределенность типа . Для вычисления предела в этой точке необходимо разделить числитель и знаменатель на x в наивысшей степени. Неопределенности типа Неопределенности этих типов сводятся к рассмотренным выше неопределенностям типа и .

Пример 1

Вычислить предел . Решение. Подставив напрямую значение x = 1, убеждаемся, что данная функция имеет неопределенность в точке x = 1. Разложив числитель на множители, получаем

Пример 2

Вычислить предел . Решение. Функция имеет неопределенность типа в точке y = −2. Разложим числитель и знаменатель на множители. (Мы использовали здесь формулу разложения квадратного трехчлена на множители: ax ² + bx + c = a (x − x ₁)(x − x ₂), где x ₁ и x ₂ - корни квадратного уравнения.) Аналогично, Таким образом, предел равен

Пример 3

Вычислить предел . Решение. Подстановка показывает, что функция имеет неопределенность типа . Разделим числитель и знаменатель на x ³ (x в наивысшей степени знаменателя). В результате получаем

Пример 4

Вычислить предел . Решение. Перепишем знаменатель в виде и разложим его как разность кубов: В результате можно найти предел:

Пример 5

Вычислить предел . Решение. Сделаем замену переменной: . Тогда . Получаем Преобразуем полученное выражение, используя формулу приведения . В результате находим значение предела

Пример 6

Вычислить предел . Решение. Если , то Таким образом, здесь мы имеем дело с неопределенностью типа . Умножим и разделим данную иррациональную функцию на сопряженное выражение. Вычисляя предел каждого члена, получаем ответ:

Пример 7

Найти предел . Решение. Для вычисления предела избавимся от иррациональностей в числителе и знаменателе, умножив их на соответствующие сопряженные выражения.

Пример 8

Найти предел . Решение. Разделим числитель и знаменатель на x ³⁰ (x в наивысшей степени). Получаем

Пример 9

Найти предел . Решение. Используя формулы преобразуем предел и найдем его значение:

Пример 10

Найти предел . Решение. Пусть . Тогда при . Следовательно,

Пример 11

Найти предел . Решение. Данная функция определена только при t ≥ 0. Умножим и разделим ее на сопряженное выражение . Получаем Теперь и числитель, и знаменатель стремятся к ∞ при . Следовательно, разделим числитель и знаменатель на - то есть t в наивысшей степени знаменателя. Тогда

Пример 12

Найти предел . Решение. Используя тригонометричское тождество , перепишем предел в следующем виде В последнем выражении первый предел, очевидно, равен 1. Во втором пределе функция косинус ограничена в интервале от −1 до 1, а знаменатель стремится к ∞ при . Поэтому, окончательный ответ равен

Раскрытие неопределённостей вида ,

Определение (« на языке последовательностей », или по Гейне)

Число А называется пределом функции y=f (x) в точке х ₀ (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n, , сходящейся к х ₀ (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции f (x_n), сходится к числу А (т.е. ).

Определение (на « языке ε-δ », или по Коши»)

Число А называется пределом функции y=f (x) в точке х ₀ (или при , т.е. ), если для любого положительно ε найдётся такое положительное число δ, что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Основные теоремы о пределах

Теорема 1.
Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

Следствие. Функция может иметь только один предел при .

Теорема 2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Теоремы 1 и 2 справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

Следствие.

Теорема. Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

, ()

При нахождении пределов применяют соотношения:

, (k =const); ;

; ;

;

;

(28).

Постановка задачи. Найти .

План решения. Для того чтобы найти вычисляем f (х ₀), при этом:

§ если данное выражение имеет смысл, то предел равен этому выражению;

§ если в результате вычислений нет неопределённостей, воспользуемся одним из соотношений (28).

№9. Найти пределы: 1) ; 2) ;
3) .

► 1) Применяя теоремы о пределах, получаем:

= =

= ;

2) Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, находим: = ;

3) Непосредственно применять теорему о пределе частного нельзя, так как предел знаменателя равен нулю (в знаменателе есть бесконечно малая величина при ). В числителе имеем ограниченную величину, отличную от нуля. Таким образом, под знаком предела будет произведение ограниченной величины , отличной от нуля, на бесконечно большую величину при как величину, обратную бесконечно малой. Поэтому . ◄

Постановка задачи. Найти , где или .

План решения. Для того чтобы найти вычисляем f (х ₀), если в результате вычислений получилась неопределённость или , следует применить соответствующие правила для раскрытия данных неопределённостей.

Неопределённость вида

§ Для того чтобы разрешить неопределённость вида , до вычисления предела средствами алгебры в числителе и знаменателе выделяем множитель и сокращаем на него, т.к. .

§ Чтобы раскрыть неопределённость , в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует соответствующим образом избавиться от иррациональности.

Неопределённость вида

§ Если числитель и знаменатель, сложные степенные функции: необходимо вынести за скобку в числителе и знаменателе дроби неизвестное с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби; после сокращения дроби неопределённость устраняется.

Частный случай: предел рационального выражения вида

при будем рассматривать как предел частного двух многочленов, который равен:

§ Если числитель и знаменатель, сложные показательные функции: за скобку вынести наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби; после сокращения дроби неопределённость устраняется.

№10. Найти пределы: 1) ;2) ; 3) .

► 1) = , для раскрытия данной неопределенности средствами алгебры разложим числитель и знаменатель на множители:

,

сократим множитель (х – 3) имеем:

= ;

2) .

Данное предельное выражение содержит иррациональность в числителе, следовательно, домножим дробь на сопряженное выражение, т.е. на , тогда:

.

В числителе последнего выражения получилась формула — разность квадратов, таким образом:

;

3) ,

для раскрытия данной неопределенности сделаем замену:

тогда исходное пределное выражение имеетвид:

,

которое раскрывается по известным правилам, т.е.:

= = . ◄

№11. Найти пределы: 1) ; 2) ;3) ; 4) .

► 1) ,

для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на х ², тогда:

= ;

2) ,

для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на х ³, тогда:

;

3) ,

для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на n ⁴, тогда:

= = ;

4) = ,

для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на n, тогда:

= =0. ◄

№12. Найти пределы: 1) ;
2) ; 3) .

► Данные предельные соотношения можно рссмотреть, как частное двух многочленов, т.е:

1) = =2;

2) ;

3) .◄

Постановка задачи. Найти .

План решения. Для того чтобы найти вычисляем f (х ₀), если в результате вычислений получилась одна из неопределённостей , или др., то данные неопределённости раскрываются путём преобразования и сведения их к неопределённости или .

№13. Найти пределы: 1) ; 2) .

► 1) ,

данное предельное выражение преобразум таким образом:

= ;

2) Рассмотрим два случая:

а) . Перенеся иррациональность из числителя в знаменатель, получим:

= = =0;

б) .

Дата добавления: 2015-07-02