Предельная точка множества. Предел функции в точке

Пусть . Число называется предельной точкой множества X, если

Из определения следует, что любая окрестность точки x ₀ содержит точку из множества X, отличную от x ₀. Сама точка x ₀ может принадлежать, а может и не принадлежать множеству X.

Значение +∞ есть предельная точка множества X, если

Значение -∞ предельная точка множества X, если

Точка , не являющаяся предельной точкой множества X, называется изолированной точкоймножества X, т. е.

Число называется предельной точкой множества , если из этого множества можно выделить последовательность (x_n) различных точек, сходящуюся к x ₀. (Данное определение и определение, указанное в самом начале эквивалентны)

Пусть f: X → R и x ₀ - предельная точка множества X.

(Гейне): Функция f имеет предельное значение при x → x ₀ (или в точке x ₀), если существует такое число , что для произвольной последовательности (x _n) значений , сходящейся к точке x ₀, соответствующая последовательность значений функции (f (x_n)) сходится к точке A.

(Коши): Функция f имеет предел при x → x ₀, если

При этом число A называем пределом (или предельным значением) функции f в точке x ₀ и записываем

или f (x) → A при x → x ₀.

Определение Гейне и Коши эквивалентны.

Введем понятие одностороннего предела.

(Гейне): Функция f имеет в точке x ₀ предел слева (справа), если существует такое число , что для произвольной последовательности (x_n) значений x, a < x_n < x ₀ (x ₀ < x_n < b), сходящейся к точке x ₀ при n → ∞, соответствующая последовательность (f (x_n)) значений функции f сходится к точке A.

(Коши): Функция f имеет в точке x ₀ предел слева (справа), если

исло A называем пределом слева (справа) функции f в точке x ₀ и обозначаем

f (x ₀ - 0) (f (x ₀ + 0)) или .

Функция f имеет предел в точке x ₀ тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равные между собой пределы слева и справа.

Критерий Коши. Функция f имеет конечный предел в точке x ₀ тогда и только тогда, когда

Особую роль играют два замечательных предела:

Если , то

Дата добавления: 2015-07-02