Уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнение, не содержащее явно независимой переменной

Подстановка y' = p понижает порядок уравнения на единицу.

При этом и т. д.

Уравнение, не содержащее искомой функции

Подстановка y' = p понижает порядок на единицу.

В общем случае

Подстановка понижает порядок на k единиц.

Уравнение, однородное относительно переменных y, y',..., y⁽ⁿ⁾

где .

Подстановка z = y'/y понижает порядок уравнения на единицу.

Обобщенное однородное уравнение

где .

Вводя новые переменные t и z по формулам , приходим к уравнению, не содержащему явно t и, следовательно, допускающему понижение порядка.

Однородное линейное уравнение с частными производными первого порядка

Если суть первые интегралы системы

то общее решение однородного линейного уравнения с частными производными имеет вид

где - любая функция, имеющая непрерывные частные производные по .

Решение задачи Коши для однородного линейного уравнения

Задача Коши: найти решение u, удовлетворяющее условию

Составляем систему функциональных уравнений:

из которой выражаем через :

Функция

и есть решение задачи Коши.

Неоднородное линейное уравнение с частными производными первого порядка (квазилинейное)

Если искать решение этого уравнения в неявном виде , то для определения функции v приходим к однородному линейному уравнению

Линейное относительно старших производных уравнение второго порядка

Классификация уравнений второго порядка

1. Если в области G, то уравнение гиперболического типа.

2. Если - параболического типа.

3. Если - эллиптического типа.

Канонический вид уравнений второго порядка

1. Канонического уравнение гиперболического типа:

или

2. Каноническое уравнение параболического типа:

3. Каноническое уравнение эллиптического типа:

Дифференциальное уравнение характеристик уравнения

есть

Задача Коши для неограниченной струны

при начальных условиях .

Решение:

(формула Д'Аламбера).

Дата добавления: 2015-07-02