Криволинейные и поверхностные интегралы II-го рода (по координатам)

Криволинейные и поверхностные интегралы I-го рода.

	Интегралы I рода
По длине дуги	По площади поверхности
	m=f (x, y, z)-линейная плотность		m=f (x, y, z) – поверхностная плотность
	Разобьем
Mi ÎD li	Выберем произвольно точки Mi, i =1¸ n	M iÎDsi
f (M i) – линейная плотность дуги D li	f (Mi) – поверхностная плотность на площадке Dsi
D mi = f (M i)D li – i -тый элемент массы кривой	Просуммируем элементы массы D m i:	D m i = f (M i)Dsi – i-тый элемент массы поверхности
– интегральная сумма для криволинейного интеграла по длине дуги	– интегральная сумма для поверхностного интеграла по площади поверхности
max D li ® 0	Перейдем к пределу n ®¥	max diam Dsi ® 0

	Интегралы II рода
Криволинейные интегралы по координатам	Поверхностные интегралы по координатам
	Разобьем
M iÎD l i	Выберем произвольно точки M i, i =1¸ n	MiÎDsi
– сила в точке Мi дуги D li	– скорость в точке Мi на поверхности Dsi
– скалярное произведение силы в точке Мi на вектор	Просуммируем элементы работы D Еi и элементы потока жидкости D Пi	-скалярное произведение скорости на единичный вектор нормали в точке Мi ,, умноженное на элемент поверхности Dsi
– интегральная сумма для криволинейного интеграла по координатам	– интегральная сумма для поверхностного интеграла по координатам
max Dli ® 0	Перейдем к пределу n®¥	max diam Dsi ® 0
Е – работа силы по перемещению точки из А в В по дуге АВ	П – поток жидкости через выбранную сторону поверхности s

Вычисление криволинейных (по длине дуги) и поверхностных (по площади поверхности) интегралов I рода

	Элемент деления
Элемент деления дуги кривой:	Поверхность Элемент деления поверхности:
	Приближенное значение элемента деления
	Вычисление
Чтобы вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (I рода), нужно привести его к определенному интегралу: 1) в подынтегральную функцию вместо переменных x,y,z подставить их выражения из параметрических уравнений линии интегрирования; 2) заменить элемент дуги dl корнем квадратным из суммы квадратов производных x,y,z по t, умноженным на dt; 3) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t.	Правило	Чтобы вычислить поверхностный интеграл по площади поверхности (I рода), нужно привести его к двойному интегралу: 1) в подынтегральную функцию вместо z подставить его выражение из уравнения поверхности; 2) элемент поверхности ds заменить дифференциальным выражением ; 3) вычислить полученный двойной интеграл по области D – проекции поверхности s на плоскость xoy.

Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов II рода (по координатам)

	Элемент деления
На кривой АВ:	На поверхности
Интеграл меняет знак при изменении направления интегрирования	Основное свойство	Интеграл меняет знак при изменении выбора стороны поверхности
Работа E вектора силы по перемещению материальной точки из А в В:	Вычисление	Поток П векторного поля через поверхность :
Чтобы вычислить криволинейный интеграл по координатам (II рода), нужно привести его к определенному интегралу: 1) в подынтегральном выражении вместо переменных x,y,z и дифференциалов dx, dy dz подставить их выражения из параметрических уравнений линии интегрирования; 2) взять определенный интеграл в пределах изменения параметра t от точки А до точки В.	Правило	Чтобы вычислить поверхностный интеграл по координатам (II рода), нужно привести его к двойному интегралу: 1) выбрать знак +, если угол g между нормалями к поверхности и осью OZ острый, и знак -, если угол g – тупой; 2) вместо z подставить его выражение из уравнения поверхности; 3) элемент поверхности ds заменить дифференциальным выражением ; 4) вычислить полученный двойной интеграл по области Dxy – проекции поверхности s на плоскость xoy.

Множество Ω, на котором определена и непрерывна подынтегральная функция

Поверхностный интеграл I рода

Поверхностный интеграл II рода

Трехмерное R ₃  

Формула Грина

Формула Стокса

Формула О. – Г.

ИНТЕГРАЛЫ

Дата добавления: 2015-06-27