Пусть дана система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде

Методы простой итерации и Зейделя решения систем линейных уравнений

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Сравнение двух средних генеральных совокупностей.

I I

Сравнение двух средних генеральных совокупностей.

(независимые выборки)

	Нормальное распределение. Dx,Dy -известны

Смотри II

Да Нет

(независимые выборки)

H ₀: m_x=m_y α – уровень значимости

II II

	Распределение Стьюдента. Dx,Dy -неизвестны			Смотри I

да

нет

нет

нет

нет

да

двусторонняя односторонняя односторонняя

критическая критическая критическая

область область область

Допустим, что определитель основной матрицы этой системы не равен нулю, тогда система имеет единственное решение. Для нахождения этого решения можно использовать итерационные методы, в которых решение системы получается как предел последовательности приближений, вычисленных некоторым единообразным процессом.

Для получения итерационных формул метода простой итерации выразим из первого уравнения системы , из второго – , из последнего – . Тогда систему можно записать в матричном виде , где

, и итерационный процесс организовать по формуле .

При таком построении последовательности приближений нужно выяснить условия, при которых последовательность имеет предел. Эти условия дает следующая теорема.

Для того, чтобы процесс итераций сходился к решению системы при любом начальном векторе , достаточно, чтобы какая-нибудь норма матрицы В была меньше единицы .

Введение нормы дает легко проверяемые условия сходимости метода: или (в суммах ).

Если условия сходимости не выполнены, то надо преобразовать систему так, чтобы условия выполнялись. Это можно сделать, используя эквивалентные преобразования системы или преобразования следующего вида. Обозначим , где – матрица с малыми по модулю элементами. Тогда вместо исходной системы будем иметь: , где , .

При достаточно малых итерационный процесс должен сходиться.

Если заданная точность вычислений по методу простой итерации w, то вычисления следует проводить до тех пор, пока не выполнится неравенство: .

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Идея его заключается в том, что при вычислении -го приближения неизвестной учитываются уже вычисленные ранее -е приближения неизвестных .

То есть итерационная формула , где

Дата добавления: 2015-06-27