Виды доказательств. Правила доказательств

Различают прямые и косвенные доказательства. Прямым называют доказательство, при котором тезис следует из найденных (регрессивным ходом мысли) оснований. Прямое доказательство, как правило, наиболее экономно, эффектно и красиво. Трудности его связаны с регрессивностью поиска оснований и необходимостью интуитивного усмотрения тех истинных суждений (аргументов), которые достаточны (с учетом логических опосредований) для обоснования тезиса. Кроме того возможность осуществления такого рода доказательства не всегда существует. Поэтому очень часто используют косвенные доказательства - такие, при которых истинность тезиса следует из установленной ложности посылок, находящихся в определенной логической связи о тезисом.

Различают: 1) апагогические, 2) аналитические, 3) разделительные косвеные доказательства (второй, а особенно первый типы более известны в обиходе как доказательства “от противного”).

При апагогическом (греч. apagoge - вывод; apagogos - уводящий, отводящий) доказательстве устанавливается ложность антитезиса, т.е суждения, противоречащего тезису. Это непосредственно означает (по закону исключенного третьего) истинность тезиса.

Ложность антитезиса устанавливается следующим образом: сначала антитезис принимают за истинный, и из него выводятся (дедуцируются) следствия. Если хотя бы одно из полученных следствий вступает в противоречие с имеющимися суждениями, истинность которых доказана, то следствие считается ложным, а вслед за ним признается ложным и сам антитезис, породивший данное следствие. Отсюда делается вывод, что тезис истинен. Этот способ иначе называется сведением “к абсурду”.

Символически три этапа такого доказательства можно выразить так:

1) ~ T ® C 2) ~ T ® C 3) ~ (~ T) «T где T - тезис

~ C. ~ T - антитезис

~ (~ T) С - следствие антитезиса

Аналитическим считается такое косвенное доказательство, которое вытекает из анализа логической структуры антитезиса и его следствий. Можно указать следующие способы такого доказательства.

1. В числе следствий антитезиса встречаются и утверждение, и отрицание одного и того же, из чего можно заключить, что антитезис неистинен: ~ (~T), а ~ (~T) «T, т.е. тезис истинен.

Или: (~T® C) Ù (~T ® ~C) ® T - тождественно-истинная формула, и если для некоторого утверждения T (тезиса доказательста) выполняются условия данной импликации, то это утверждение истинно.

Таким образом, истинность тезиса утверждается через противоречивость следствий антитезиса.

2. Если хотя бы одно из следствий антитезиса является внутренне противоречивым, антитезис ложен. Соответствующую форму условно-категорического силлогизма символически можно записать так:

(~T ® (C Ù ~C)) ® ~(~T)

(~T ® (C Ù ~C)). Учитывая, что ~(~T) «T, истинность

~(~T) тезиса T ею логически обоснована

3. Иногда не требуется искать ложные или противоречивые следствия, а достаточно показать, что тезис логически вытекает из антитезиса. Это - так называемый закон Клавия: (~T ® (~T Ù T)) ® T.

Например, древнегреческий философ Протагор утверждал: “Ис-тинно все, что приходит кому-либо в голову”. Его оппонент Демокрит возразил ему, что отсюда следует и то, что истинно суждение “Не все суждения истинны”, что является отрицанием тезиса.

В разделительном доказательстве устанавливается ложность всех членов строго-разделительного суждения (строгой дизъюнкции), кроме одного, являющегося доказываемым тезисом. Оно строится по форме разделительно-категорического силлогизма и является правильным при соблюдении этой формы: ((р Ú q Ú r) Ù ~р Ù ~q) ® r. Например: из всех тех, кто в принципе мог совершить данное преступление (лица P, Q, R), граждане P и Q имеют надежное алиби и их можно исключить из списка подозреваемых; следовательно, преступление совершил гражданин R. Хотя судом косвенные доказательства не принимаются в качестве достаточных, логически они таковыми являются, поскольку истинность посылок рассматривается как абсолютно надежная.

Правила и типичные ошибки.

Правило 1: члены дизъюнкции должны исчерпывать все возможности. Доказательство может быть неправильным, если мы не учтем все возможности и не проверим ложность всех альтернатив.

Правило 2: сама дизъюнкция должна быть истинной, а исключаемые альтернативы - ложными.

Косвенные доказательства - эффективное логическое средство утверж-дения истины; однако нужно иметь в виду, что в процессе такого доказательства все внимание сосредоточивается на антитезисе, а собственно тезис остается в стороне. Поэтому допущенные неточности могут привести к тяжелым ошибкам. Кроме того, не все логики признают некоторые законы в качестве универсальных. Например, интуиционистская логика и конструктивная логика отрицают абсолютную применимость законов: “снятия двойного отрицания”, “исключенного третьего”, “закона Клавия”.

Общие правила доказательств.

Правила тезиса

1. Тезис должен быть сформулирован достаточно ясно и точно. Для

этого необходимо:

а)дать определение всем необходимым понятиям; б) точно указать, о каком именно отношении между ними идет речь; в) указать, для какой цели осуществляется доказательство данного тезиса; г) тезис не должен содержать неявных условий, положений и следствий (ситуативных или индексных слов: здесь, теперь, я...).

2. Тезис должен быть самотождественным в течение всего рассуждения, т.е.

а) он сам не должен меняться в течение всего хода доказательства;

б) не должны меняться содержание понятий, его составляющих, и отношения между ними;

г) не должны меняться условия, его определяющие, и условное не должно становиться безусловным.

Правила аргументов

1.Аргументы, приводимые в подтверждении к тезису, должны быть: а) истинными;

б) не противоречить друг другу;

в) определенными (известными) по своим источникам и достоверными.

2. Аргументы должны быть достаточными:

а) не слишком широкими (“кто много доказывает, тот ничего не доказывает”), из которых следует все, что угодно;

б) не слишком узкими (например, упрощенными), недостаточными;

3. Аргументы должны быть суждениями, истинность которых доказана независимо от тезиса (не должно быть “круга” в доказательстве).

Правила демонстрации

1. Демонстрация должна быть правильной по форме в целом (быть правильным умозаключением) и в своих составляющих.

Пример доказательства.

В качестве иллюстрации представим доказательство правил третьей фигуры ПКС, приведенных в предыдущей лекции без доказательства. В процессе аргументации активно используется следующее:

а) специфика структуры данной фигуры, т.е. сведения о Ф III. M - P

месте и роли терминов ПКС в посылках и заключении; M - S

S - P

б) общие правила ПКС (см. с.);

в) свойства распределенности терминов в простых категорических суждениях различных типов;

г) основные законы формальной логики и другие логические формы.

Тезисы доказательства:

1) меньшая посылка должна быть утвердительным суждением;

2) заключение должно быть частным суждением.

Аргументация и демонстрация доказательства.

1. Доказательство тезиса (1) проведем косвенным апагогическим способом (методом “от противного”). Пусть меньшая посылка - отрицательная. Тогда заключение (по одному общих из правил ПКС) также отрицательное суждение и в нем предикат, т.е. P - больший термин ПКС, распределен. Отсюда следует, что этот термин распределен и в большей посылке, где он расположен, поскольку, если бы это было не так, то это противоречило бы одному из правил терминов (“термин, не распределенный в посылке, не может быть распределен и в заключении”). В посылке он также является предикатом, причем распределенным предикатом, что в общем случае выполняется лишь для отрицательных суждений, т.е. большая посылка отрицательна. Таким образом, получили две отрицательных посылки (меньшая отрицательна по сделанному предположению), чего в правильной форме ПКС быть не может (общие правила). Из сделанного предположения (антитезис) получили ложное следствие, т.е. антитезис тоже ложен, а тезис истинен.

2. При доказательстве второго правила уместно использовать только что доказанное и попытаться доказать тезис (2) прямым способом - выводом из уже доказанного тезиса (1). Меньшая посылка утвердительна и ее предикат (термин S ПКС) в общем случае не распределен. Поэтому, в соответствии с одним из правил терминов, термин S не распределен и в заключении, где он является субъектом, что свойственно лишь частным суждениям. Таким образом, заключение ФIII должно быть частным суждением. Доказательство завершено.

Полезно в качестве упражнения записать это доказательство в символической форме как цепочку связанных умозаключений с указанием типов аргументов и их источников в теории формальной логики, а также проделать аналогичные доказательства для правил других фигур ПКС.

Из представленной демонстрации доказательства сразу видно, что она не единственна. Так, при доказательстве тезиса (1) можно было прийти к противоречию следствий антитезиса (аналитический метод), например, из антитезиса сделать вывод об утвердительном характере большей посылки, поскольку двух отрицательных посылок быть не может, и т.д. При доказательстве тезиса (2) можно было воспользоваться и косвенными методами, которые также достаточно быстро приводят к результату.

При нарушении правил доказательства в данном конкретном случае могли появиться, например, такие ошибки (они действительно часто допускаются учащимися): незнание того, какая из посылок меньшая, а какая - большая (неопределенность понятий приводит к неправильному пониманию самого тезиса, не говоря уже об аргументации и демонстрации); в демонстрации первого доказательства при переходе от утверждения “P заключения распределен” к утверждению “тогда и P в большей посылке распределен” с непосредственной ссылкой на общие правила ПКС, вообще говоря, некорректна, поскольку такого правила нет (по крайней мере, в приведенной нами формулировке) и требуется дополнительное апагогическое “поддоказательство”.

Дата добавления: 2015-06-27