Напряжение при чистом изгибе

Как уже было сказано, при чистом плоском изгибе в поперечном сечении из шести внутренних силовых факторов не равен нулю только изгибающий момент (рис. 7.1, в):

; (7.1)

Опыты, поставленные на эластичных моделях, показывают, что если на поверхность модели нанести сетку линий (рис. 7.1, а), то при чистом изгибе она деформируется следующим образом (рис. 7.1, б):

а) продольные линии искривляются по длине окружности;

б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;

в) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.

На основании этого можно предположить, что при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси балки (гипотеза плоских сечений при изгибе).

Определим нормальные напряжения, возникающие при чистом изгибе балки находящейся под действием моментов М_х.

В произвольной точке балки (рис. 7.2, т. А) в общем случае могут возникать нормальные напряжения как вдоль продольной оси σ_z, так и вдоль поперечных осей σ_x, σ_y. Однако экспериментально установлено, что нормальные напряжения σ_x, σ_y пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями σ_z. Принимается так называемая гипотеза ненадавливания продольных волокон σ_x = 0, σ_y = 0. Поэтому можно принять, что материал балки находится при линейном напряженном состоянии вдоль оси z, и деформации подчиняются закону Гука. То есть нормальные напряжения при изгибе можно определить из формулы .

Установим закон изменения деформаций при изгибе балки.

При изгибе верхние волокна удлиняются, нижние укорачиваются, а продольная линия не меняет своей длины. Слой балки, не испытывающий при изгибе ни растяжения ни сжатия, называется нейтральным слоем. Линия пересечения нейтрального слоя и плоскости поперечного сечения называется нейтральной линией.

Определим относительную деформацию волокна ав ε_z (далее будем обозначать ее просто ε):

,

где r - радиус кривизны нейтрального слоя; у - расстояние от нейтрального слоя до рассматриваемого волокна балки.

Подставляя это соотношение в закон Гука, получим:

e

, (7.2)

т.е. напряжения s линейно зависят от координаты у.

Используя интегральную связь между напряжениями и изгибающим моментом:

,

подставляя в него соотношение (7.2), получим:

,

где - осевой момент инерции сечения.

Тогда получим выражение , подставляя которое в (7.2) окончательно имеем формулу для нормальных напряжений при изгибе:

.

Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 7.2. Как видно, на нейтральной линии они равны нулю, максимального значения напряжения достигают в крайних верхних и нижних волокнах балки:

.

Обозначая , получим формулу для максимальных напряжений в произвольном сечении:

, (7.3)

где W_x – осевой момент сопротивления сечения изгибу, геометрическая характеристика поперечного сечения.

Дата добавления: 2015-06-28