Разложение многочлена на множители

Многочлены

Функция

где - целое положительное число, называется многочленом (полиномом) или целой рациональной функцией от число называется степенью многочлена. Коэффициенты - действительные или комплексные числа; независимая переменная также может принимать как действительные, так и комплексные значения. Корнем многочлена называется такое значение переменного при котором многочлен обращается в нуль.

Теорема 1 (теорема Безу). При делении многочлена на разность получается остаток, равный

Доказательство. Наш многочлен по степеням с помощью формулы Тейлора представим в виде многочлена по степеням

где Складывая все частные длины

Переходя к пределу при находим точное значение длины пути и в то же время получаем определенный интеграл от функции на отрезке:

Иными словами, производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела (при условии, что подынтегральная функция непрерывна).

Доказательство. Дадим аргументу приращение тогда (учитывая свойство 8 определенного интеграла) получим:

Приращение функции равно:

Применим теперь теорему о среднем (свойство 7 определенного интеграла):

где

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

Следовательно, Ч.т.д.

Из доказанной теоремы, в частности, следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную.

Теорема 2. Если есть какая-либо первообразная от непрерывной функции то справедлива формула

Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница.

Доказательство. Пусть есть некоторая первообразная от функции По теореме 1 функция есть также первообразная от Но две любые первообразные от данной функции отличаются на постоянное слагаемое С. Следовательно, можно написать:

Это равенство при соответствующем выборе С справедливо при всех значениях т.е. является тождеством. Для определения постоянного С положим в этом тождестве тогда

откуда Следовательно,

Полагая получим формулу Ньютона – Лейбница:

или, заменив обозначение переменной интегрирования на

Формула Ньютона – Лейбница дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции.

Дата добавления: 2014-01-03