Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Разложение многочлена на множители





Многочлены

Функция

где - целое положительное число, называется многочленом (полиномом) или целой рациональной функцией от число называется степенью многочлена. Коэффициенты - действительные или комплексные числа; независимая переменная также может принимать как действительные, так и комплексные значения. Корнем многочлена называется такое значение переменного при котором многочлен обращается в нуль.

Теорема 1 (теорема Безу). При делении многочлена на разность получается остаток, равный

Доказательство. Наш многочлен по степеням с помощью формулы Тейлора представим в виде многочлена по степеням

где Складывая все частные длины

Переходя к пределу при находим точное значение длины пути и в то же время получаем определенный интеграл от функции на отрезке :

 

Иными словами, производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела (при условии, что подынтегральная функция непрерывна).

Доказательство. Дадим аргументу приращение тогда (учитывая свойство 8 определенного интеграла) получим:

 

Приращение функции равно:

 

Применим теперь теорему о среднем (свойство 7 определенного интеграла):

где

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

 

Следовательно, Ч.т.д.

Из доказанной теоремы, в частности, следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную.

Теорема 2. Если есть какая-либо первообразная от непрерывной функции то справедлива формула

 

Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница.

Доказательство. Пусть есть некоторая первообразная от функции По теореме 1 функция есть также первообразная от Но две любые первообразные от данной функции отличаются на постоянное слагаемое С. Следовательно, можно написать:

 

Это равенство при соответствующем выборе С справедливо при всех значениях т.е. является тождеством. Для определения постоянного С положим в этом тождестве тогда

откуда Следовательно,

 

Полагая получим формулу Ньютона – Лейбница:

 

или, заменив обозначение переменной интегрирования на

 

Формула Ньютона – Лейбница дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции.





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 200; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.001 сек.