Дифференциал

Разложение по формуле Маклорена функций

1. Разложение функции

Подставляя в (9), будем иметь:

Доказано, что

А значит, что при любом взяв достаточное число членов, мы можем вычислить с любой степенью точности.

2. Разложение функции

Подставляя в (9), получим:

Доказано, что при

3. Разложение функции

Действуя аналогично предыдущему, получим:

.

Здесь также при

4. Разложение функции

Подставляя в (9), будем иметь:

при

5. Разложение функции

Подставляя в (9), получим:

Это равенство называется формулой бинома Ньютона.

Лекция 6.

Пусть функция дифференцируема на отрезке Производная этой функции в некоторой точке отрезка определяется равенством где при Умножая все члены последнего равенства на получим: то при постоянном и переменном произведение) так называемая главная часть приращения, линейная относительно Эту главную часть приращения называют дифференциалом функции в точке соответствующим приращению аргумента Принято обозначать дифференциал функции символом или

Итак, слагаемое определять дифференциал функции формулой (2), т.е. считают, что он равен нулю в этом случае.

Пример. Пусть функция есть площадь квадрата, сторона которого равна Если стороне дать приращение то новое ее значение станет и, следовательно, площадь квадрата получит приращение или поэтому На рисунке приращение функции изображается площадью всей заштрихованной части, тогда как дифференциал функции изображается площадью заштрихованной части без площади маленького квадрата, находящегося в правом верхнем углу большого квадрата.

Введем понятие дифференциала независимой переменной. Под дифференциалом независимой переменной понимается дифференциал функции, тождественной с независимой переменной, т.е. функции Поэтому Тогда

Геометрический смысл дифференциала. Рассмотрим график функции Пусть и Т.о. дифференциал функции в данной точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в точке с абсциссой когда получает приращение

Если график функции вогнут, то если же график функции выпукл, то

Физическое значение дифференциала. Пусть известен закон движения точки по оси где - расстояние точки от начала отсчета и -время, причем будем предполагать, что точка движется в одном и том же направлении. За бесконечно малый промежуток времени точка переместится в точку Но на величину бесконечно малую относительно Отсюда имеем приближенное равенство:

будем иметь

По таблицам же находим

Рассмотрим еще одну задачу, важную для приближенных вычислений.

Задача. Для данной функции предельная абсолютная погрешность ее аргумента равна т.е. Каковы предельные абсолютная и относительная погрешности функции

Из формулы (4) имеем можно принять

Пример. Угол определен с точностью до Как отразится это обстоятельство на синусе угла?

Здесь Поэтому ошибка для на основании формулы (5), где получим

2. Дифференциал алгебраической суммы нескольких дифференцируемых функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций.

3. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то дифференциалы их равны между собой.

4. Постоянный множитель может быть вынесен за знак дифференциала.

5. Дифференциал произведения.

7. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть. Положим и, следовательно, Если и - дифференцируемые функции, то

или

Таким образом, - функция от и

В дальнейшем будем предполагать, что имеет произвольное, но фиксированное значение, независящее от независимой переменной и одно и то же для всех рассматриваемых функций. Если фиксировано, то есть некоторая функция от пропорциональная

Итак,

Полагая можно написать или

Если - независимая переменная, то по аналогии

Теперь мы будем рассматривать обратную задачу: дана функция требуется найти такую функцию производная которой равна т.е.

Пример. Найти первообразную от функции

Из определения первообразной следует, что функция является первообразной,т.к.

С другой стороны, можно доказать, что функциями вида исчерпываются все первообразные от функции Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Если и - две первообразные от функции на отрезке то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство. Имеем: (1)

при любом значении на отрезке

Обозначим:

Тогда на основании (1) будет:

или при любом значении на отрезке Но из равенства

При этом функцию называют подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, знак ∫ - знаком интеграла.

Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой семейство функций С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет семейство кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, т.е. вдоль оси

Первообразные (а значит и неопределенный интеграл) существуют не для всякой функции Заметим однако, без доказательства, что если функция непрерывна на отрезке то для этой функции существует первообразная (а значит и неопределенный интеграл).

Нахождение первообразной для данной функции называется интегрированием функции

Дата добавления: 2014-01-03