Метод интегрирования по частям

Основные свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если Имеем

.

Итак, из справедливости формулы (1) следует справедливость формулы (2), которая получается из первой формулы формальной заменой на На основании этого свойства получаем обобщенную таблицу простейших интегралов:

и т.д.,

где -любая дифференцируемая функция.

Пример..

Заменяя на получим:

Отсюда становится понятной важность умения приводить данное дифференциальное выражение к виду: где есть некоторая функция от и - функция более простая для интегрирования, чем

Отметим ряд преобразований дифференциала, полезных для дальнейшего:

1) где - постоянная величина

2) где постоянная

3)

4)

5)

Вообще докажем, что в этом случае имеет место следующее равенство:

Правую часть равенства (2) будем дифференцировать по как сложную функцию, где - промежуточный аргумент. Зависимость от выражается равенством (1), при этом Таким образом, имеем:

Что и требовалось доказать.

Функцию следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (2). Иногда целесообразнее подбирать замену переменного не в виде, а

Пример 1.

Сделаем подстановку тогда и, следовательно,

Пример 2.

Сделаем подстановку тогда

Пусть и - две дифференцируемые функции от Тогда, как известно, дифференциал произведения вычисляется по следующей формуле:

Отсюда, интегрируя, получаем: или

Это формула интегрирования по частям.

Выведенная формула показывает, что приводится к который может оказаться более простым, чем исходный, или даже табличным. Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители и вырабатывается в процессе решения задач. Сейчас же можно лишь сказать, что в качестве обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, в качестве - оставшаяся часть подынтегрального выражения, включая

Пример.

При определении функции по дифференциалу мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит, что легко проверить, подставив в равенство (1) вместо выражение Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю.

Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях. Так, например, интегралы вида некоторые интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции, вычисляются с помощью интегрирования по частям.

В некоторых случаях для сведения данного интеграла к табличному формула интегрирования по частям применяется несколько раз.

Иногда искомый интеграл определяется из алгебраического уравнения, получающегося с помощью интегрирования по частям.

Пример.

Аналогичным образом можно вычислить следующие два интеграла.

Лекция 9.

Дата добавления: 2014-01-03