Комплексные числа и операции над ними

Определение 1. Два действительных числа и называются упорядоченной парой, если указано, какое из чисел первое, а какое второе. Обозначение: - -первый элемент, - второй.

Определение 2. Комплексным числом называется упорядоченная пара - первый элемент которой называется действительной частью, а второй элемент - мнимой частью этого числа: Всякую пару мы будем отождествлять с действительным числом: так что все действительные числа есть подмножество всего множества комплексных чисел.

Определение 3. Два комплексных числа равны между собою если При этом комплексное число считается равным нулю, если т.е.

Определение 4. Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число и обозначается так

Определение 5. Произведением комплексных чисел и называется комплексное число и обозначается так

Совершенно очевидным является выполнение следующих свойств относительно сложения и умножения:

для любого имеется для любого существует обратное что

Определение 6. Разностью чисел и назовем число которое в сумме с дает или Видим, что

Определение 7. Частным комплексных чисел и где назовем такое число (и напишем которое, будучи умножено на даст Установим его вид. Пусть где и пока неизвестны. Исходя из определения, имеем или, Решая, находим

В операциях с комплексными числами особую роль играет число обозначаемое символом Очевидно После этого любое комплексное число можно представить в виде:

- получим алгебраическую форму комплексного числа, а операции умножения, сложения, деления, вычитания проводить по обычным законам, известным из теории действительных чисел. Например,

т.е. то, что мы уже имели раньше.

Определение 8. Комплексное число называется сопряженным к числу Их произведение - действительное число.

Дата добавления: 2014-01-03