Задачі для самостійного розв’язання

Приклади

Гіпербола

Всі. 4.. 5.,.

6. 1) ;

2) ;

3) .

7. . 8. 10. 9. . 10. 9.

Означення. Гіперболою називається множина точок площини, різниця відстаней яких від двох заданих точок, фокусів, є величина стала і дорівнює .

По аналогії з еліпсом фокуси розміщуємо в точках ,

(див. рис. 25-4).

Рис. 25-4.

Оскільки, як видно з рисунка, можуть бути випадки і , то згідно означення .

Відомо, що в трикутнику різниця двох сторін менша третьої сторони, тому, наприклад, з маємо

Отже, для гіперболи .

Далі запишемо значення виразів і через координати точок

Піднесемо до квадрата обидві частини і після подальших перетворень знайдемо

Пропонуємо завершити самостійно

Гіпербола симетрична відносно координатних осей, тому, як і для еліпса, досить побудувати її графік в першій чверті, де . Область визначення для першої чверті .

При маємо одну із вершин гіперболи . Друга вершина . Якщо , то із (40) , – дійсних коренів немає. Говорять, що і – уявні вершини гіперболи. Із співвідношення випливає, що при досить великих значеннях має місце наближена рівність . Тому пряма є лінією, відстань між якою і відповідною точкою гіперболи прямує до нуля при .

Пряма називається асимптотою гіперболи. Згідно з симетрією існує ще одна асимптота .

Для побудови гіперболи необхідно відкласти на координатних осях відрізки довжиною на по обидва боки від точки і аналогічно відкласти по .

Рис. 26.

Після цього побудувати прямокутник зі сторонами паралельними координатним осям (див. рис. 26). Діагоналі прямокутника є асимптотами гіперболи. Через вершину в першій чверті проводимо вітку гіперболи, яка асимптотично наближається до прямої

. Інші вітки будуємо симетрично відносно і .

Ексцентриситет гіперболи , бо . Якщо величину зафіксувати, а збільшувати, то при цьому збільшується , тому гіперболи будуть відхилятись від , гіпербола буде розпрямлятись. При зменшені буде зменшуватись , вітки гіперболи будуть наближатись до . У випадку, коли , асимптотами будуть бісектриси координатних кутів,

– рівнобічна гіпербола.

Побудувати гіперболи

1. 2. . (Див. рис. 27).

Рис.27.

Перша з гіпербол перетимає вісь , друга – вісь Oy. Кожна з наведених гіпербол по відношенню до іншої називається спряжною.

Рівняння спряжених гіпербол відрізняються протилежними знаками перед змінними в канонічних рівняннях.

Задача 1. Знайти осі, вершини, фокуси, ексцентриситет і рівняння асимптот гіперболи

.

Побудувати гіперболу та її асимптоти.

Розв’язання. Зведемо рівняння гіперболи до канонічного вигляду .

Порівнюючи дане рівняння з канонічним (див. рівняння (40)) знаходимо , , . Вершини , фокуси і . Ексцентриситет ; асимптоти . Будуємо гіперболу (див. рис. 27-1)

1. Знайти координати вершин, півосі, півфокусну відстань, ексцентриситет і рівняння асимптот гіпербол, побудовати їх графіки.

1) , 2) , 3) .

2. Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі ОХ, якщо

1) а=5, b=3;

2) і 2b=8;

3) 2b=6 і ;

4) рівняння асимптот і .

3. Скласти канонічне рівняння гіперболи, дійсна вісь якої лежить на осі ОХ, якщо гіпербола проходить через точки і .

4. Записати рівняння гіперболи, дійсна вісь якої дорівнює 6, і відстань фокусами дорівнює 10, записати рівняння спряженої гіперболи. Побудувати їх графіки.

5. Знайти центр, півосі, півфокусну відстань, ексцентриситет і канонічне рівняння гіпербол:

1) ;

2) ;

3) . Побудувати ці гіперболи.

Вказівка: необхідно виділити повні квадрати змінних і знайти новий початок координат, що відповідатиме паралельному переносу системи координат в новий центр (див. розв’язану аналогічну задачу 4 в попередньому параграфі для еліпса).

6. Знайти точки перетину гіперболи з прямою .

7. Відомо, що гіпербола проходить через фокуси еліпса , а її фокуси знаходяться у вершинах еліпса. Скласти рівняння гіперболи.

8. Ексцентриситет гіперболи, яка має спільні фокуси з еліпсом , дорівнює 1,2. скласти рівняння цієї гіперболи.

9. Знайти площу прямокутника, вершини якого містяться в точках перетину гіперболи і кола .

10. Гіперболи задані рівняннями і . Знайти кут між їхніми асимптотами, які розміщені в першій чверті.

Відповіді: 1. 1) ; 2) ;

3) .

2. 1) ; 2) ; 3) ;

4) . 3. . 4. , . 5. 1) ;

2) ;

3) .

6. , . 7. . 8. .

Дата добавления: 2017-01-14