Поворот осей координат

10).

Розв’язання. Спочатку згрупуємо відносно змінної хі змінної y

Приклади.

І. Паралельне перенесення координатних осей

Позначимо через стару систему координат, а через – нову, де положення нового початку координат в системі (див. рис. 31).

Рис. 31.

З рис. 31 бачимо, що старі координати виражаються через нові :

Звідки

– формули переходу від старих координат до нових при паралельному перенесенні.

При спрощенні кривих другого порядку за допомогою паралельного перенесення використовують спосіб виділення повного квадрата. Розглянемо на прикладі параболи

Позначимо , , отримаємо

Введемо нові координати тоді в новій системі рівняння набуде вигляду (див. рис. 32).

Рис. 32.

1. Спростити рівняння, та побудувати криву

.

Розв’язання. Виділимо повні квадрати відносно і

При заміні маємо

– еліпс, , початок нової системи має координати Побудову в новій системі див. на рис. 33.

Рис. 33.

2. Спростити рівняння і побудувати графік кривої

.

виділимо повні квадрати

Замінимо: одержимо

- гіпербола відносно системи , де

Задачі для самостійного розв’язання

1. Паралельним перенесенням звести до канонічного вигляду (із вказанням нового початку координат) подані нижче рівняння:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

Відповіді: 1) ;

2) ; 3) ;

4) ; 5) ;

6) ; 7) ;

8) ; 9) ;

Позначимо (рис. 34):

Рис. 34.

Старі координати точки нові координати т. кут повороту . Тоді формули повороту:

(44)

Задача. Записати рівняння рівнобічної гіперболи, якщо новими осями координат вибрати її асимптоти (див. рис. 35):

Рис. 35.

Рівняння рівнобічної гіперболи , її асимптотами є лінії , та . Кут повороту

тоді за формулами (44)

із При заміні отримаємо знайоме із шкільного курсу – рівняння гіперболи.

Дата добавления: 2017-01-14