Задачі для самостійного розв’язання. Означення. Параболою називається множина точок площини, які рівновіддалені від заданої точки, що називається фокусом і заданої прямої

Парабола

9.112. 10..

Означення. Параболою називається множина точок площини, які рівновіддалені від заданої точки, що називається фокусом і заданої прямої, що називається директрисою.

Для отримання канонічного рівняння параболи розмістимо директрису перпендикулярно осі , а фокус на осі так, щоб початок координат містився на однаковій відстані від них (див. рис. 28). Позначимо через відстань від фокуса до директриси, тоді фокус має координати , . Для довільної точки параболи відстань , а відстань до директриси . За означенням . З рис. 28 бачимо, що , а , тому

Рис. 28.

– канонічне рівняння параболи.

Парабола проходить через точку , яка називається її вершиною. Якщо точка належить параболі, то і теж належить параболі, тому що із

Отже, парабола симетрична відносно осі , її графік достатньо побудувати в першій чверті, де із (42) випливає, що

.

При ця функція визначена для . При зростанні змінна теж зростає. Графік зображено на рис. 29.

Рис. 29,а.

Рівняння директриси параболи .

Парабола має “оптичну” властивість: якщо у фокусі параболи помістити джерело світла, то відбиті від параболи промені будуть паралельними осі . Цю властивість враховують при виготовленні прожекторів, дзеркальних телескопів, теле- і радіоантен.

При додатному р рівняння

описує параболу симетричну відносно ОХ з вершиною в точці , вітки якої напрямлені вліво (див. рис. 29,б)

Аналогічно викладеному, рівняння і описують параболи з вершиною в точці симетричні відносно ОУ, вітки яких напрямлені відповідно вверх і вниз (див. рис. 29, в і г). Якщо, наприклад, рівняння розв’язати відносно у

і позначити , то отримаємо відоме із шкільного курсу рівняння параболи . Тепер її фокусна відстань .

Задача 1. Знайти координати фокуса і скласти рівняння директриси параболи .

Розв’язання. Порівнюючи канонічне рівняння і дане , отримуємо , тоді . Оскільки рівняння директриси , то в даному випадку .

Задача 2. Скласти канонічне рівняння параболи а) з фокусом в точці ; б) з фокусом в точці .

Розв’язання. а) Оскільки фокус на додатній півосі ОХ, то парабола симетрична відносно ОХ з вершиною в точці і , тому і згідно формули (42)

.

б) Фокус лежить на від’ємній півосі ОУ з вершиною в точці , вітки напрямлені вниз, канонічне рівняння слід шукати у вигляді . Фокусна відстань параболи , і рівняння запишеться

.

Задача 3. Показати шляхом виділення повного квадрата, що рівняння

є рівнянням параболи. Звести його до канонічного вигляду. Знайти вершину, фокус, вісь і директрису цієї параболи.

Розв’язання. Виділимо відносно змінної х повний квадрат

.

Позначимо , . Тоді внаслідок паралельного перенесення координатних осей в новий початок, тобто в точку , отримаємо канонічне рівняння параболи

.

Вітки цієї параболи напрямлені вниз симетрично відносно осі , - фокусна відстань. В новій системі координат фокус знаходиться в точці , рівняння директриси в новій системі .

Повернемося до старих координат за допомогою заміни , . Рівняння осі в новій системі , а в старій - рівняння осі параболи.

Рівняння директриси в новій системі координат , а в старій .

В новій системі для фокуса а в старій системі ; , тобто .

1. Знайти координати фокуса і записати рівняння директриси для поданих парабол: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2. Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що:

а) парабола має фокус і вершину ;

б) парабола симетрична відносно осі абсцис і проходить через точки і ;

в) парабола симетрична відносно осі ординат і проходить через точки і

3. Рівняння директриси параболи . Скласти канонічне рівняння цієї параболи, якщо її вершина в точці . Знайти координати фокуса.

4. На параболі взята точка А(х,у), яка знаходиться від директриси на відстані . Знайти відстань цієї точки від вершини параболи.

5. Знайти фокальний радіус точки В параболи , якщо її абсциса дорівнює 8.

6. Знайти точки перетину параболи з прямими: а) ; б) ; в) .

7. Знайти координати вершини і фокуса, скласти рівняння осі і директриси кожної із поданих парабол: а) ; б) ; в) ; г) .

8. Вісь симетрії параболи паралельна осі ординат, а рівняння директриси . Скласти рівняння параболи, якщо вона перетинає вісь ОХ в точках (-5, 0) і (11, 0).

9. Через фокус параболи проведені дві прямі, одна з яких складає з віссю ОХ кут , а друга - . Точки перетину цих прямих з параболою послідовно з’єднані між собою. Знайти площу утвореного чотирикутника.

10. Діаметр кругової параболічної антени 60см, глибина її 7,5. На якій відстані від вершини параболи необхідно поставити уловлювач сигналів, щоб відбиті сигнали від супутника перетинались у цій точці (вважається, що сигнали, які напрямлені на антену від супутника йдуть паралельно осі антени).

11. Тіло, кинуте під кутом до горизонту, описало дугу параболи і упало на відстані 32м від початкового положення. Знайти параметр параболічної траєкторії та записати рівняння, якщо найбільша висота досягнута тілом, дорівнює 12м.

Відповіді: 1. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 2. а) ; б) ; в) .

3. . 4. . 5. 14.

6. а) ; б) ; в) . 7. а) ; б) ; в) ; г) . 8. або . 9. . 10. 30. 11.

Дата добавления: 2017-01-14