Контрольная работа № 3

Ответ.

Решение.

Решение задачи 5.2.

Решение задачи 5.1.

Контрольная работа № 2.

5. Векторная алгебра (скалярные, векторные произведения).

6. Системы уравнений, метод Гаусса

7. Собственные числа и векторы

8. Уравнения прямой и плоскости

Вариант для самостоятельного решения:

5) Векторы выражены через : , .

, , угол между ними 60 градусов. Найти .

6) Решить систему

7) Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей .

8) Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (1,4,2) перпендикулярно вектору (2,1,2).

Аналогичные задачи из практических занятий:

Векторы a,b выражены через p,r: , . , угол между ними 45 град.

Задача 5.1. Найти . Задача 5.2. Найти | [a,b] |.

= = .

Это мы раскрыли скобки, используя свойства скалярного произведения. Далее, так как то объединим их, и получим .

Это можно выразить так:

и получаем . Ответ. 29.

= =

Несмотря на то, что скобки мы раскрыли похожим образом, дальше будет существенное отличие, т.к. свойства векторного произведения совсем другие, чем скалярного. Так, , но . Кроме того, чтобы объединить в одно слагаемое, здесь надо сначала у одной из них сменить знак.

= =

= . Модуль векторного произведения и это площадь параллелограмма, где эти векторы являются сторонами, поэтому далее можно продолжить так:

= = = 50. Ответ. 50.

Задача 6. Решить систему уравнений

Построим расширенную матрицу системы и преобразуем её.

чтобы обнулились коэффициенты ниже левого верхнего угла, то есть чтобы исчезла переменная из всех уравнений кроме первого, надо:

а) из 2-й строки вычесть 1-ю;

б) из 3-й строки вычест удвоенную 1-ю.

=

Теперь, чтобы обнулить ниже чем , нужно к 3-й строке просто прибавить 2-ю, так как знаки там противоположны. При этом структуру из нулей, которые уже получились слева, мы на последующем шаге всё равно никак не испортим, ведь там к 0 будет прибавляться 0 либо вычитаться 0, то есть ступенчатая структура там уже всё равно будет сохраняться.

=

Когда в основной матрице уже получена треугольная структура, снова перепишем в виде системы

В первом уравнении 3 неизвестных, а в каждом следующем всё меньше и меньше, а в последнем вообще только одна неизвестная. Именно этой цели мы и хотели добиться, приводя к треугольному виду: из последнего уравнения можно теперь сразу выразить . Затем с этой информацией мы поднимаемся в предпоследнее уравнение, где две неизвестных, впрочем, одна из них уже известна.

.

А теперь уже две последних неизвестных стали известны, и с этой информацией поднимаемся в 1-е уравнение, подставляя туда и . Итак, .

Ответ. =2, =1, =1.

Можно ответ записать и в виде вектора: .

Задача 7. Найти собственные числа и векторы .

Решение. сводится к уравнению

, корни которого .

Найдём собственные векторы.

. Вычтем 2 по диагонали, получим систему уравнений

то есть .

Из этих уравнений следует, что , про нет информации, это свободная переменная. ФСР: вектор (1,0,0).

. Вычтем 3 по диагонали, получим систему уравнений

то есть .

Из этих уравнений следует , ФСР: вектор (1,1,0).

Базисный минор здесь во 2 и 3 столбцах, так что могло считаться свободной переменной.

. Вычтем 4 по диагонали, получим систему уравнений

то есть .

Базисный минор можно найти, например, в левом верхнем углу, тогда считаем свободной переменной и все остальные выразим именно через неё. Из 2-го , а затем из 1-го , то есть .

ФСР: вектор (1,1,1).

Собст. число собст. вектор (1,0,0),

собст. число собст. вектор (1,1,0)

собст. число собст. вектор (1,1,1).

Задача 8.1. Построить уравнение прямой (на плоскости) по точке с координатами (1,2) и перпендикуляру (3,5).

Решение. Возьмём произвольную точку с координатами . Если она принадлежит этой прямой, то вектор , координаты которого равны перпендикулярен вектору .

Таким образом, скалярное произведение векторов и (3,5) есть 0. Тогда , приводя подобные, получаем .

Ответ. .

Задача 8.2. Построить уравнение прямой (на плоскости) по точке с координатами (1,2) и направляющему l (3,5).

Решение. Возьмём произвольную точку с координатами . Если она принадлежит этой прямой, то вектор а именно коллинеарен вектору l (3,5). Таким образом, их координаты пропорциональны: . Это уравнение называется каноническим. Приведём к обычному уравнению, для этого домножим на константы. , то есть что сводится к .

Замечание. Нормаль к полученной прямой - вектор . Вообще говоря, мы могли бы сразу перейти от направляющего вектора к нормали (поменять координаты и у одной из них сменить знак), а потом уже строить уравнение по нормали, как в прошлом методе.

Ответ. .

Задача 8.3. Построить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1,2,3) перпендикулярно вектору (1,4,2).

Решение. Для произвольной точки в плоскости, вектор с координатами ортогонален . Их скалярное произведение 0. Тогда , т.е.

.

Ответ. Уравнение плоскости .

9. Предел последовательности

10. Предел функции, с неопределённостью 0/0.

11. Предел функции, 1-й замеч. lim

12. Предел функции, 2-й замеч. lim

Вариант для самостоятельного решения:

9) Вычислить предел

10) Вычислить предел

11) Вычислить предел

12) Вычислить предел

Аналогичные задачи из практических занятий:

Задача 9. Найти предел .

Решение. Здесь неопределённость типа .

Чтобы свести к дроби, и сокращать как в прошлых примерах, надо сначала домножить на «сопряжённое» выражение, то есть такое где вместо разности сумма, это позволит использовать формулу сокращённого умножения .

= =

= .

Теперь можно сократить на первую степень :

= = = = = = 3. Ответ. 3.

Задача 10. Найти предел .

Решение. Способ 1. Тот факт, что при подстановке и в числителе, и в знаменателе даёт значение 0, говорит о том, что множитель присутствует хотя бы один раз. Поэтому найти корни можно даже без дискриминанта.

= = = = = .

Способ 2. (Лопиталя).

= = = = = .

Ответ. .

Задача 11.1. Найти предел .

Решение. С помощью преобразований получим в знаменателе такое же выражение, как под знаком синуса в числителе.

= = = = .

Второй предел вообще не содержит неопределённости, а первый это в точности если переобозначить .

Ответ. .

Задача 11.2. Найти предел .

Решение. = = = 5.

Ответ. 5.

Задача 12. Найти предел .

Решение. Здесь сначала заметим, что основание стремится к 7/7 = 1. А степень к бесконечности. То есть, неопределённость типа и можно использовать 2-й замечательный предел. Сначала выделяем целую часть дроби, то есть 1. Прибавим и отнимем 1, но ту, которую отняли, представим в таком виде, чтобы она объединилась с дробью.

= = =

=

= теперь после 1 следует бесокнечно-малая, которая обращается в 0 при , ведь там числитель . Далее, в степени домножаем обратную к этой дроби, но при этом и её саму тоже, чтобы ничего не изменилось.

= =

использовали тот факт, что .

Далее, получаем =

= = .

Ответ. .

Дата добавления: 2017-01-14