Контрольная работа № 2

Решение.

Контрольная работа № 1.

Семестр

1. Подведение под знак дифференциала, преобразования.

2. Интегрирование по частям.

3. Интегрирование рациональных дробей.

4. Интегрирование иррациональностей и тригонометрических функций.

Варианты для самостоятельного решения:

Вариант 1. Найти неопределённые интегралы:

1. 2. 3. 4.

Вариант 2. Найти неопределённые интегралы:

1. 2). 3. 4.

Аналогичные задачи из практических занятий:

Задача 1.1. Вычислить .

Решение. = = =

= = = .

Ответ. .

Задача 1.2. Вычислить .

Решение. Дискриминант знаменателя отрицательный, поэтому здесь невозможно сделать как в прошлой задаче, так как нет корней знаменателя и дробь невозможно свести к виду .

Но при D < 0 можно выделить полный квадрат:

= = .

С помощью замены сводится к интегралу:

= , и далее с помощью обратной замены получаем ответ: .

Ответ. .

Задача 2.1. Вычислить .

Решение. Пусть , так надо, чтобы понизилась степень на следующем шаге. Составим таблицу:

Тогда = = .

Ответ. .

Задача 2.2. Вычислить .

= = .

Ответ. .

Задача 3. Вычислить интеграл .

Решение. Как видим, здесь корень 1 имеет кратность 2. Разложение на простейшие дроби нельзя проводить так, как будто бы здесь три независимых множителя , , , т.е. , иначе получится противоречие, ведь общий знаменатель будет содержать всего лишь 1-ю степень но никак не вторую. Надо степени знаменателя учитывать по возрастающей, до кратности корня, а именно, так: .

Приведём к общему знаменателю:

.

Числитель этой дроби равен числителю исходной, той, которая была в интеграле:

.

, система:

. Построим расширенную матрицу и решим систему уравнений:

.

Система приведена к виду:

Тогда , , . И теперь интеграл распадается на сумму трёх интегралов: .

В 1 и 3 слагаемых - как раньше, а вот во 2-м логарифм в ответе не получится, ведь тут уже 2-я а не 1-я степень в знаменателе.

Полезно вспомнить, что .

То есть, интеграл от -2 степени будет содержать -1 степень, и меняется знак.

Ответ. .

Задача 4.1. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь есть корни порядка 2 и 3. Наименьшее общее кратное, НОК(2,3) = 6. Поэтому замена . При этом,

, , ,

,

.

Тогда = = =

= .

Сделаем обратную замену и получим ответ:

Ответ. .

Задача 4.2. Вычислить интеграл .

Решение. Здесь тоже суммарная степень чётная, замена .

. , .

= = =

= =

здесь мы воспользовались формулой .

= .

После обратной замены получаем ответ:

Ответ. .

1. Определённый интеграл и его приложения.

2. Несобственный интеграл.

3. Двойной интеграл.

4. Дифф. уравнения 1 порядка с разделяющимися переменными.

Варианты для самостоятельного решения:

Вариант 1.

1.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

, , .

2. Найти несобственный интеграл .

3. Найти двойной интеграл , где - треугольник с вершинами (0,0), (1,1), (1,3).

4. Решить дифф. уравнение .

Вариант 2.

1.Вычислить площадь области, ограниченной кривыми:

, , .

2. Найти несобственный интеграл .

3. Вычислить в полярных координатах интеграл от функции по 1-й четверти круга радиуса 1.

4. Дифф. уравнение 1 порядка .

Аналогичные задачи из практических занятий:

Задача 1.1. Вычислить

Решение. =

здесь мы можем заменить на , но тогда нужно сделать пересчёт верхнего и нижнего пределов. Если то , т.е. .

= = = = .

А можно было сначала вычислять интеграл как неопределённый, тогда надо было бы вернуться к исходной переменной (то есть сделать обратную замену), но пределы можно не пересчитывать.

= = =

= = = .

Ответ. .

Задача 1.2. Найти площадь области, ограниченной линиями

Дата добавления: 2017-01-14