Контрольная работа № 3

Решение.

= = = = .

Ответ. .

Задача 2. Найти несобственный интеграл .

Решение. = = =

= = .

Здесь под символом понимается предел .

Ответ. .

Задача 3.1. Вычислить интеграл по треугольнику D, вершины которого: (0,0),(1,0),(0,1).

Решение. Строение треугольника понятно (см. чертёж).

Наклонная линия задаётся уравнением .

Вычисление: = =

= = =

= . Ответ. .

Задача 3.2. Вычислить , где D - четверть круга радиуса 1 (в первой координатной четверти).

Решение. Заменим , , а также умножим на якобиан .

= =

=

Дальше остаётся интеграл от одной переменной, там можно применять обычный способ, подведение под знак дифференциала.

= = = = = .

Ответ. .

Задача 4. Решить уравнение .

Решение.

.

Ответ. .

Проверка. Если , то , действительно, производная имеет лишний множитель по сравнению с исходной функцией, и подходит в качестве решения уравнения .

1. Линейные дифф. уравнения 2 порядка с задачей Коши.

2. Действия с комплексными числами.

3. Формула Муавра.

4. Числовые ряды.

Вариант для самостоятельного решения:

1. Решить линейное однородное уравнение , найти частное решение при , .

2. Поделить .

3. Вычислить в показательной форме:

ответ дать в виде a+bi.

4. Исследовать сходимость ряда

Аналогичные задачи из практических занятий:

Задача 1. Найти частное решение дифф. уравнения при условиях Коши: .

Решение. Характеристическое уравнение: , его корни: , . Тогда ФСР состоит из и , общее решение такое: .

Теперь найдём решение задачи Коши. Сначала запишем функцию и её производную:

и .

Кроме того, у нас есть информация: .

Тогда , . Получается система уравнений

вычитая 1-е уравнение из 2-го, находим, , т.е. , тогда . Тогда частное решение: .

Ответ. .

Задача 2. Разделить двумя способами:

1) с помощью умножения на сопряжённое число.

2) в показательной форме.

Решение. 1) = = .

2) = = = = =

Ответ. .

Задача 3. Возвести в степень в алгебраической и показательной форме: .

Решение. Перейдём к показательной форме, для этого сначала найдём модуль и аргумент числа с помощью чертежа. Число в 1-й четверти, угол 45 градусов.

= . По формуле Муавра, =

= = = = = .

Чертёж, показывающий, расположение на плоскости, это число выделено красным цветом:

Задача 4.

Решение. Запишем предел отношения модуля (n+1) члена ряда к модулю n-го. При этом мы отбрасываем знакочередование.

= = =

= .

Итак, , ряд сходится (абсолютно).

Дата добавления: 2017-01-14