Контрольная работа № 4

13. Производные функции одной переменной.

14. Частные производные, градиент.

15. Уравнение касательной.

16. Экстремумы.

Вариант для самостоятельного решения:

13) Найти производную (какая-нибудь функция f(x)).

14) Найти градиент функции в точке и производную по направлению .

15) Найти уравнение касательной для в точке и высоту касательной при x=0.

16) Найти экстремумы для .

Аналогичные задачи из практических занятий:

Задача 13. Найти 1 и 2 производную от .

Решение. = =

= , что можно записать в виде .

Вторая производная: = = .

Ответ. , .

Задача 14. Найти градиент функции в точке (1,1) и производную по направлению (1,3).

Решение. , .

Градиент в произвольной точке:

Градиент в конкретной точке:

Нормируем вектор (1,3). .

Скалярно умножим и . .

Ответ. , = .

Задача 15. Найти уравнение касательной к кривой в точке .

Решение. Значение в точке: .

Производная: .

Производная в точке: .

Уравнение принимает вид ,

что преобразуется к виду .

Ответ. .

Задача 16. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём = . Корни 1 и 3. Выясним знак производной на каждом из интервалов , и . Для этого надо вычислить знак в какой-нибудь точке на каждом из этих интервалов. Желательно для удобства вычислений взять целое число как представителя интервала.

Например, , и .

. . .

Таким образом, в точке рост сменяется убыванием, точка максимума.

В точке убыванием сменяется ростом, точка минимума. Можно вычислить и ординаты, чтобы более подробно нарисовать график. Точки экстремума (1, 4/3) и (3, 0). Для сведения, вот её график:

Дата добавления: 2017-01-14