Собственные значения и собственные функции

Реализуя в (7) первое из граничных условий (6), имеем

.

Поскольку T(t) не может равняться нулю (в противном случае приходим к тривиальному решению), то и имеем следующий вид решения:

.

Реализуя для последнего соотношения второе граничное условие из (6), получим .

Из подчеркнутой части соотношения видно, что В и не могут обращаться в ноль, а тогда . Откуда и потому - собственные числа решаемой задачи. Здесь Функции, соответствующие собственным числам, - собственные функции решаемой задачи. Теперь решение краевой задачи:

Кроме того, при разных значениях имеем разные собственные числа , а тогда и разные значения констант и и разные решения , которые называются частными решениями. Искомое общее решение получим в виде линейной комбинации этих частных решений

. (8)

Роль коэффициентов линейной комбинации здесь играют неопределенные коэффициенты и . Так как в правой части соотношения (8) мы имеем дело с бесконечным рядом, то для того чтобы этот ряд был решением уравнения (3) необходимо, чтобы сходился как сам ряд, так и ряды, полученные из него в результате двукратного почленного дифференцирования по переменным x и по t.

В случае если ранее мы приняли бы , т. е. приравняли выражения стоящие справа положительной константе, то пришли бы к единственно возможному тривиальному решению.

Дата добавления: 2015-07-13