Уравнение распространения тепла в стержне

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Рассматривается однородный стержень длины , теплоизолированный с боков и настолько тонкий, что в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно считать одинаковой. Расположим ось стержня вдоль оси между точками и (рис. 2). Пусть - температура в сечении стержня с абсциссой в момент времени .

Рис. 2

Количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой за время , определяется формулой

, 22)

где - площадь сечения стержня, - коэффициент теплопроводности материала стержня. Тепло течет из области более высоких температур в область более низких температур. Формула 22) для потока тепла получена опытным путем. Потоки тепла через сечения, ограничивающие элемент стержня , будут соответственно

и .

Приток тепла в элемент стержня за время будет

.

Этот поток тепла за время затратился на повышение температуры элемента стержня на величину :

, 23)

где - теплоемкость, - плотность вещества стержня.

Приравнивая правые части выражений 22) и 23), получим

или .

Из физических соображений , тогда .

Получаем окончательно:

. 24)

24) – уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности) в однородном стержне.

Дата добавления: 2015-07-13