Приведение задачи к однородным граничным условиям

Решить краевую задачу 24) – 27) методом разделения переменных Фурье невозможно, так как граничные условия 26), 27) неоднородны (им не удовлетворяет функция ). Поэтому, прежде чем применять метод Фурье, мы должны свести задачу к задаче с однородными граничными условиями. Выполним такое сведение для случая, когда температуры внешних сред и постоянны.

Введем новую функцию , связанную с формулой

, 28)

где и - константы, которые подбираются так, чтобы для функции получались однородные граничные условия.

Подставляя по 28) в дифференциальное уравнение 24), получим дифференциальное уравнение относительно вспомогательной функции :

. 29)

Граничные условия 26) и 27) при подстановке 28) преобразуются следующим образом:

,

.

Требование однородности граничных условий для функции будет выполнено, если приравнять нулю квадратные скобки в правых частях последних соотношений, тогда

30)

Из последней системы определятся коэффициенты и .

Теперь однородные граничные условия для :

, . 31)

Условие 25) преобразуется в начальное условие для следующим образом: . Поскольку константы и к этому моменту вполне определенные числа из 30), то начальное условие для имеет вид:

, 32)

где - определенная функция.

Теперь краевая задача 29), 31), 32) относительно – краевая задача с однородными граничными условиями (условиям 31) удовлетворяет ) и может быть решена методом разделения переменных.

Дата добавления: 2015-07-13