Реализация начальных условий

Для отыскания в решении (8) неопределенных коэффициентов

и реализуем начальные условия. Так, реализуя в (8) начальное условие (4), получим

.

Подчеркнутые части в последней цепи выкладок представляют разложение заданной функции в ряд Фурье по синусам на интервале . Коэффициенты этого разложения – коэффициенты Фурье, которые определяются по формулам

. (9)

Реализуя в (8) начальное условие (5), получим

.

Аналогично предыдущему имеем разложение в ряд Фурье по синусам заданной функции на отрезке . Коэффициенты этого разложения . Откуда

. (10)

Таким образом, решение сформулированной краевой задачи имеет вид (8), где коэффициенты и определяются по (9) и (10).

Из формулы (8) видно, что в моменты времени , , струна возвращается в свое первоначальное состояние, т.к.

.

Это означает, что колебания струны незатухающие и периодически повторяющиеся, с периодом . Так происходит потому, что мы пренебрегаем силами трения. При их учете получились бы затухающие колебания.

Дата добавления: 2015-07-13