Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности с использованием критерия Фишера-Снедекора

Пример. Предполагается, что применение нового типа резца сократит время обработки некоторой детали. Хронометраж времени обработки 9 деталей, обработанных старым типом резцов, дал следующие результаты: среднее время обработки детали X – 57 мин, исправленная выборочная дисперсия s²_х = 186,2 (мин²). Среднее время обработки 15 деталей, обработанных новым типом резцов, - Y по данным хронометражных измерений - 52 мин, а исправленная выборочная дисперсия s²_х = 166,4 (мин²). На уровне значимости = 0,01 ответьте на вопрос, позволило ли использование нового типа резцов сократить время обработки детали?

Решение. Для решения данной задачи необходимо сравнить 2 средние нормально распределенных генеральных совокупностей, генеральные дисперсии которых неизвестны, но предполагаются одинаковыми (малые независимые выборки). В этой задаче речь идет о малых выборках, так как n_х = 9 и n_у = 15 меньше 30. Выборки - независимые, поскольку из контекста задачи видно, что они извлечены из непересекающихся генеральных совокупностей.

Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.

Н₀:X = Y - генеральные средние 2 нормально распределенных совокупностей с неизвестными дисперсиями (но предполагаемыми одинаковыми) равны (применительно к условию данной задачи -среднее время, затрачиваемое на обработку детали резцами нового и старого типа, - одинаково, т. е. использование нового типа резца не позволяет снизить время на обработку детали).

Н₁: X > Y - генеральная средняя для X больше, чем генеральная средняя для Y (применительно к условию данной задачи - среднее время, затрачиваемое на обработку детали резцами старого типа, больше, чем - нового, т. е. использование нового типа резца позволяет снизить время на обработку детали).

Так как конкурирующая гипотеза - правосторонняя, то и критическая область - правосторонняя.

Приступать к проверке гипотезы о равенстве генеральных средних 2 нормально – распределенных совокупностей с неизвестными дисперсиями можно лишь в том случае, если генеральные дисперсии равны. В противном случае, данная задача в теории неразрешима.

Поэтому, прежде чем проверять эту гипотезу, проверим гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей.

Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы, согласно условию задачи.

Н₀: D(Х)=D(Y) - генеральные дисперсии 2 нормально распределенных совокупностей равны.

Н₀: D(Х) >D(Y) - генеральная дисперсия для X больше генеральной дисперсии для У. Выдвигаем правостороннюю конкурирующую гипотезу, так как исправленная выборочная дисперсия для X значительно больше, чем исправленная выборочная дисперсия для Y.

Так как конкурирующая гипотеза - правосторонняя, то и критическая область - правосторонняя.

В качестве критерия для сравнения 2 дисперсий нормальных генеральных совокупностей используется случайная величина Р - критерий Фишера-Снедекора (приложение 4).

Его наблюдаемое значение (f _набл) рассчитывается по формуле

где s - большая (по величине) исправленная выборочная дисперсия; s² - меньшая (по величине) исправленная выборочная дисперсия.

Найдем f _набл

Критическое значение (f _кр) следует находить с помощью таблицы распределения Фишера-Снедекора (приложение 4) по уровню значимости и числу степеней свободы k и k ₂.

По условию а = 0,01; число степеней свободы найдем по формуле

k₁ = n₁- 1; k ₂ = n₂ - 1,

где k₁ - число степеней свободы большей (по величине) исправленной дисперсии; k ₂ - число степеней свободы меньшей (по величине) исправленной дисперсии; n₁ - объем выборки большей (по величине) исправленной дисперсии; n₂- объем выборки меньшей (по величине) исправленной дисперсии.

Найдем k₁ и k ₂

k₁ = 10 - 1 = 9;

k ₂ = 15 - 1 = 14.

Определяем f _кр по уровню значимости = 0,01 и числу степеней свободы k₁ =9 и k ₂ =14:

f _{кр(= 0,01; k1 =9; k 2 =14)}

f _набл< f _кр следовательно, на данном уровне значимости нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей.

Следовательно, Можно приступить к проверке гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормально распределенных совокупностей.

Найдем t _набл

Критическое значение (t _кр) следует находить по таблице распределения Стьюдента (приложение 2) по уровню значимости и числу степеней свободы k.

По условию = 0,01; число степеней свободы найдем по формуле

k = n_х + n_y - 2,

г

де k - число степеней свободы; n_х - объем выборки для X; n_y - объем выборки для Y.

k = 9 + 15 - 2 = 22.

Найдем t _кр по уровню значимости = 0,01 (для односторонней критической области) и числу степеней свободы k = 22

Заметим, что при левосторонней конкурирующей гипотезе X < Y t _кр следует находить по таблицам распределения Стьюдента (приложение 2) по уровню значимости (для односторонней критической области) и числу степеней свободы k = n_х + n_y – 2 и присваивать ему знак «минус».

При двусторонней конкурирующей гипотезе Х≠Y t _кр находим по таблицам распределения Стьюдента (приложение 3) по уровню значимости (для двусторонней критической области) и числу степеней свободы k = n_х + n_y – 2.

t _набл < t _кр следовательно, на этом уровне значимости нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

По имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости а = 0,01 нельзя отклонить гипотезу о том, что генеральные средние равны, т. е. среднее время, затрачиваемое на обработку детали старым и новым типом резцов, отличается незначимо, расхождения между средними - случайны, использование нового типа резцов не позволяет снизить время обработки детали.

Наблюдаемое значение критерия попадает в область допустимых значений (рисунок 6), следовательно, нулевую гипотезу нельзя отклонить.

Рисунок 6

Ответ. На уровне значимости = 0,01 нельзя утверждать, что использование нового типа резцов позволило сократить время обработки детали.

Заключение

Проверка статистических гипотез – необходимая методика, используемая для получения данных в статистике.

Проведенная работа позволила сделать следующие выводы:

- Под статистической гипотезой понимаются различного рода предположения относительно характера или параметров распределения случайной переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке.

- Смысл проверки статистической гипотезы состоит в том, чтобы по имеющимся статистическим данным принять или отклонить статистическую гипотезу с минимальным рисков ошибки. Эта проверка осуществляется по определенным правилам.

- Гипотезы классифицируются на: простые и сложные; параметрические и непараметрические; основные (высказанные) и альтернативные (конкурирующие).

- Проверка гипотезы осуществляется на основе выявления согласованности эмпирических данных с гипотетическими (теоретическими).

- Особенно часто процедура проверки статистических гипотез проводится для оценки существенности расхождений сводных характеристик отдельных совокупностей (групп): средних, относительных величин. Такого рода задачи, как правило, возникают в социальной статистике.

- Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью статистического критерия (назовем его в общем виде К), являющегося функцией от результатов наблюдения.

- В статистике в настоящее время имеется большое число критериев для проверки практически любых гипотез.

- Выбор критерия для проверки статистических гипотез может осуществляться на основании различных принципов. Чаще всего для этого пользуются принципом отношения правдоподобия, который позволяет построить критерий, наиболее мощный среди всех возможных критериев.

- Для каждой проверки статистических гипотез существует определенный алгоритм.

Список литературы

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения.

Например, гипотеза H₀ - случайная величина распределена по нормальному закону.

Нулевой (основной) называется выдвинутая гипотеза H₀.

Альтернативной (конкурирующей) называется гипотеза, противоречащая основной (конкурирующих гипотез может быть несколько).

Например, основная гипотеза - математическое ожидание случайной величины Y равно 5

H₀ : M_y=5,

конкурирующие:

H₁:

H₂:

H₃ :

Статистическим критерием (К) называется случайная величина, точное или приближённое распределение, которой известно и которая служит для проверки справедливости нулевой гипотезы.

Множество возможных значений критерия делится на две непересекающихся области:

1) значения, при которых нулевая гипотеза справедлива (область принятия гипотезы).

2) значения, при которых нулевая гипотеза отвергается (критическая область).

Критическая область может быть односторонней (левосторонней, правосторонней) или двусторонней.

Рис.1. Виды критических областей: правосторонняя, левосторонняя и двусторонняя.

Точка К_кр, отделяющая критическую область от области принятия гипотезы, называется критической точкой.

Так как наблюдаемое значение критерия определялось по результатам эксперимента, то К_набл -случайная величина и, следовательно, могут возникать ошибки при принятии гипотезы. Различают ошибки первого и второго рода. К ошибкам первого рода относят те, при которых отвергается правильная гипотеза. К ошибкам второго рода, относят те, при которых принимается неправильная гипотеза. Допустимой вероятностью ошибки первого рода является q -уровень значимости. Однако. если уменьшать q, то возрастает вероятность принятия неверной гипотезы, т. е. вероятность ошибок второго рода. Если справедлива гипотеза H₁, то это считается доказанным, если справедлива гипотеза H₀ -то говорят, что результаты эксперимента не противоречат нулевой гипотезы.

Читать полностью:http://www.km.ru/referats/3DB8F76ED1D74E1093C8FEDF6923E565#

Дата добавления: 2015-07-13