Без учета сил сопротивления

Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы

Этот вид колебаний рассмотрим на примере балки, где динамическая нагрузка представлена в виде гармонической, изменяющейся по синусоидальному закону,

т.е. , где и соответственно максимальная составляющая (амплитуда) нагрузки и круговая частота возмущающей силы.

Уравнение динамического равновесия

;

или, сохраняя предыдущие обозначения,

Разделив на m и обозначив получаем неоднородное дифференциальное уравнение:

Решение уравнения в установившемся режиме имеет вид

Из решения следует, что вынужденные колебания совершаются с той же частотой, которую имеет возмущающаяся сила, а амплитуда вынужденных колебаний (y_DИН) зависит от величины составляющей Р возмущающей силы P(t) и соотношения частот свободных и вынужденных колебаний.

Динамический прогиб можно представить в виде

или ;

где, y_cт –статический прогиб, т.е. прогиб, вызываемый статическим действием амплитудного значения динамической нагрузки P(t).

Отвлеченная величина носит название динамического коэффициента и в системах с одной степенью свободы выражает отношение динамических величин (усилий, прогибов) к их статическим величинам.

Представим график изменения численных значений динамического коэффициента в зависимости от соотношения .

Из формулы для и графика видно, что с приближением частоты возмущающей силы к частоте свободных колебаний динамический коэффициент, равно как и динамический прогиб стремительно возрастают. При равенстве частот

( = ) динамический коэффициент становится равным бесконечности. Этот случай в технике носит название явления резонанса и представляет большую опасность для сооружения, так как усилия, перемещения и напряжения в элементах системы достигают больших значений. Для ответственных сооружений недопустимы не только явления резонанса, но и условия, при которых эти сооружения находились бы в зоне резонанса (см. график).

Во избежание резонанса обычно обеспечивается условие, чтобы частота свободных колебаний системы отличалась от частоты вынужденных её колебаний на 25–30 %, причем, должна быть меньше , чтобы резонанс не произошел при разгоне или остановке двигателя.

Пример:

	Определить максимальный прогиб балки и максимальный изгибающий момент. Исходные данные возьмём из рассмотренного выше примера: , EJ = 4000 кнм^2, (вычислено ранее), Pmax = 15 кн ϴ =6,6с^-1(≈ 63об/мин)

Круговая частота свободных колебаний была вычислена ранее: .

Проверяем на резонанс:

(минимально на 25 30 %),

в нашем случае (30 %)(резонанс не происходит).

Динамический коэффициент равен:

Максимальный прогиб балки (на конце консоли):

м = = 28 см

Максимальный изгибающий момент над правой опорой

кнм

Дата добавления: 2015-08-31