Фотонный газ и его свойства

Формула (6.4) в неявном виде определяет химический потенциал как функцию числа частиц и температуры. Используя распределение Бозе –Эйнштейна, можно получить законы теплового излучения, энергетический спектр тепловых колебаний кристаллической решетки и т.д.

Иногда распределения Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака записывают вместе в виде

Где – параметр распределения, имеющий размерность энергии и получивший название химический потенциал. С точки зрения термодинамики химический потенциал равен изменению энергии системы при добавлении к ней одной частицы при постоянном давлении и температуре. Ферми-частицы подчиняются статистике Ферми–Дирака, согласно которой среднее число частиц) (in, находящихся в состоянии с энергией i, определяется выражением

Нейтронов, входящих в состав атома, оказывается полуцелым. Для Фермичастиц имеет место принцип запрета Паули, согласно которому в одном и том же состоянии не может быть двух и более Ферми-частиц, имеющих одинаковый набор квантовых чисел. Такое различие в поведении волновых функций относительно перестановок частиц приводит к тому, что системы, состоящие из Бозе-частиц и Фермичастиц, описываются различными статистиками. Бозе-частицы подчиняются статистике Бозе –Эйнштейна, согласно которой среднее число частиц) (in, находящихся в состоянии с энергией i, определяется выражением

Атомы, у которых суммарный спин электронов, протонов и

Частицы (спин

где знак «=» относится к распределению Бозе –Эйнштейна, а «+» – к распределению Ферми–Дирака. Параметр распределения – химический потенциал, определяется из условия нормировки. Если мы просуммируем частицы, находящиеся во всех возможных состояниях системы, то, очевидно, эта сумма будет равна полному числу частиц N, входящих в систему, т.е.

Фотонная теория излучения. Развивая гипотезу М.Планка о квантах, А.Эйнштейн в 1905 г. предположил, что квантовые свойства излучения (света) проявляются не только при испускании и поглощении его веществом, но и при распространении излучения в пространстве. Возрождая корпускулярную теорию света, предложенную Ньютоном еще в начале 18 столетия, Эйнштейн выдвинул гипотезу, согласно которой излучение можно представить состоящим из большого числа частиц, каждая из которых, обладая квантом энергии, движется в пространстве со скоростью света в вакууме м/с. Рассмотрим свойства таких частиц.

Частица излучения, которую назвали фотоном, представляет собой ультрарелятивистскую незаряженную частицу. Свойства фотона могут быть описаны только с использованием основных соотношений специальной теории относительности. В частности, из этой теории следует, что фотон является уникальной элементарной частицей, имеющей нулевую массу покоя. Это означает, что фотон всегда движется со скоростью и не может находиться в состоянии покоя. Если при неупругом столкновении с другой элементарной частицей фотон "останавливается", то он исчезает, передавая всю свою энергию этой частице.

Энергия фотона

(1.41)

лежит в широком диапазоне от нескольких электронвольт для видимого света ( нм), до миллионов электронвольт для жесткого гамма-излучения ( нм).

Как и любая материальная частица, фотон имеет массу , которая связана с его энергией релятивистской формулой: . С учетом (1.41) находим

.

(1.42)

Движущийся со скоростью фотон обладает импульсом, величина которого связана с его энергией релятивистским соотношением , учитывающим, что масса покоя фотона равна нулю. Отсюда, с учетом (1.32), следует, что

.

(1.43)

Для фотона излучения, направление распространения которого задается волновым вектором , модуль которого , формулу (1.43) можно записать в векторном виде

.

(1.44)

Опыт Боте. Можно ли экспериментально обнаружить отдельный фотон излучения? Очевидно, что сделать это будет легче, если фотон будет иметь достаточно большую массу и энергию. Как следует из (1.42) и (1.43), таким фотоном будет фотон коротковолнового электромагнитного излучения, например, рентгеновского излучения.

Эксперимент по обнаружению фотонов рентгеновского излучения был проведен В.Боте в 1925 г. В этом опыте тонкая металлическая фольга Ф (рис. 1.10а) облучалась рентгеновским излучением. При этом фольга становилась сама источником слабого вторичного излучения.

Согласно волновым представлениям энергия даже столь слабого излучения должна распределяться в пространстве равномерно влево и вправо. В этом случае левый и правый счетчики должны были срабатывать практически одновременно, а самописцы Л и П, связанные со счетчиками С_л и С_п, оставлять метки на движущейся ленте друг напротив друга.

Рис. 1.10a. a)

Рис. 1.10б. б)

С точки зрения корпускулярной фотонной теории излучения, при малой энергии вторичного излучения, сравнимой с энергией одного фотона, фотоны должны излучаться фольгой либо только вправо, либо только влево. Поэтому метки на ленте от самописцев Л и П не должны совпадать.

Опыт (рис. 1.10б) подтвердил вывод фотонной теории излучения, и, тем самым, явился первым экспериментальным доказательством существования фотонов.

В опытах, проведенных под руководством С.И.Вавилова, было установлено, что человеческий глаз может реагировать на свет при попадании всего лишь нескольких сотен фотонов в секунду. Поэтому в слабых световых потоках флуктуации, связанные с изменением числа излучаемых фотонов, могут быть обнаружены даже визуально.

В области инфракрасного излучения с энергией фотона порядка 0,1 эВ созданы детекторы на основе сверхпроводящего нитрида ниобия, способные регистрировать единичные фотоны излучения.

Уравнение состояния фотонного газа. С точки зрения фотонной теории, равновесное тепловое излучение можно представить в виде фотонного газа, заполняющего полость, частицы которого движутся хаотически, то есть равновероятно по всем направлениям.

Очевидно, что газ фотонов не может быть описан как классический идеальный газ. Частицы фотонного газа не имеют распределения по скоростям, а их распределение по энергиям не описывается классическим распределением Максвелла-Больцмана. Это распределение фотонов по энергиям будет выведено в квантовой статистике (см. раздел 6.5) после детального обсуждения квантовой теории систем тождественных частиц. Сейчас же мы ограничимся обсуждением некоторых свойств фотонного газа, вытекающих из общих термодинамических законов и соотношений, примененных к равновесному тепловому излучению.

Прежде всего, выведем уравнение состояния фотонного газа, связывающего для такого газа термодинамические параметры - давление, объем и температуру. Для этого, как и в молекулярно-кинетической теории газов, формулу для давления фотонного газа получим, рассмотрев процесс передачи импульса стенке сосуда падающими на нее фотонами.

Из всей совокупности фотонов выделим сначала фотоны, соответствующие излучению частоты , вводя их объемную концентрацию . Рассматривая три взаимно перпендикулярных направления, в силу их равноправия будем считать, что в направлении, перпендикулярном поверхности стенки сосуда с фотонным газом, движется одна треть всех фотонов. Из них лишь половина движется к стенке, а другая половина движется от стенки. Так как фотоны движутся со скоростью , то число фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени, запишется как

.

Если поглощательную способность вещества стенки обозначить через , то из падающих фотонов поглотится стенкой, а - отразится. Очевидно, что (рис. 1.11).

Рис. 1.11.

Условие термодинамического равновесия в системе "вещество-излучение" требует, чтобы число фотонов , испускаемых с единицы поверхности в единицу времени, было равно числу поглощенных фотонов . Только при внутренняя энергия тела не будет изменяться со временем, как и не будет изменяться со временем энергия излучения.

Любой поглощенный и излученный фотон передают стенке импульс , величина которого определяется формулой (1.43). Отраженный фотон, изменяя направление своего движения на противоположное, передает стенке удвоенный импульс . Следовательно, за единицу времени единице поверхности стенки сообщается импульс, равный

.

По второму закону Ньютона этот переданный стенке импульс определяет давление , которое оказывает на стенку сосуда излучение с частотой . Следовательно

.

(1.45)

Здесь - плотность энергии излучения с частотой .

Суммируя воздействие на стенку фотонов излучения различных частот, получаем формулу для результирующего давления фотонного газа, находящегося в равновесии при температуре , в виде

.

(1.46)

Здесь - интегральная плотность энергии излучения всевозможных частот. Так как с учетом (1.7) и (1.16)

,

(1.47)

то для давления фотонного газа получаем формулу

.

(1.48)

Здесь - постоянная Стефана- Больцмана, а - скорость света в вакууме.

Итак, давление, которое оказывает фотонный газ, пропорционально четвертой степени его абсолютной температуры и не зависит от объема полости, в которой заключен фотонный газ, моделирующий в корпускулярной теории тепловое излучение, заполняющее полость. В частности, подставляя в (1.48) К, получаем Па. С повышением температуры давление фотонного газа резко возрастает и при температуре К достигает значения Па= атм.

Термодинамические характеристики фотонного газа. Определим теперь внутреннюю энергию фотонного газа, заполняющего при температуре полость объемом . С учетом формулы (1.47) находим

.

(1.49)

Поэтому для теплоемкости фотонного газа при постоянном объеме получаем выражение

.

(1.50)

Отметим, что в отличие от классического идеального газа, теплоемкость которого не зависит от температуры, теплоемкость фотонного газа пропорциональна кубу его абсолютной температуры.

Применяя к фотонному газу известное термодинамическое соотношение , с учетом (1.48) и (1.49) получаем

.

Отсюда, считая что при , находим энтропию фотонного газа:

.

(1.51)

Полученные термодинамические соотношения позволяют рассмотреть различные процессы, в которых может участвовать фотонный газ. В частности, из (1.48) следует, что для фотонного газа изотермический процесс () является одновременно и изобарическим процессом ().

Если при сжатии или расширении фотонного газа его энтропия не изменяется (), то в таком процессе газ не обменивается теплотой с окружающими телами (), и такой процесс является адиабатическим. Из (1.51) следует, что уравнение адиабатического процесса для фотонного газа имеет вид

.

(1.52)

С учетом (1.48) это соотношение преобразуется к виду

.

(1.53)

Тепловое излучение Вселенной. Из полученных выше оценок следует, что энергия излучения дает существенный вклад во внутреннюю энергию системы при больших температурах. Одной из таких систем является высокотемпературная плазма. В таком состоянии вещества фотонный газ (излучение) наряду с газом частиц (электронов, ионов и др.) должен быть включен в рассмотрение как равноправный элемент системы. Многие свойства высокотемпературной плазмы можно объяснить, изучая взаимодействие фотонного газа с газом частиц.

Интересный пример такого взаимодействия можно найти в современной космологической теории, описывающей ранние стадии эволюции Вселенной. Эта теория утверждает, что вся наша Вселенная возникла приблизительно 10 - 20 миллиардов лет назад в результате Большого взрыва.

Взрыв образовал в очень малом объеме пространства горячий "котел", в котором при фантастически больших плотностях и температурах находилось все вещество нашей Вселенной. По оценкам Г.Гамова через 100 секунд после взрыва плотность вещества была в тысячи раз больше плотности воды, а температура ( К) значительно превышала температуру в центре термоядерного взрыва.

В горячем огненном шаре материя существовала в виде высокотемпературной плазмы, состоящей из протонов, нейтронов, электронов, фотонов, нейтрино и их античастиц. Вещество в таком состоянии было непрозрачно для излучения, и излучение находилось в "плену" вещества.

Согласно теории А.А.Фридмана, высказанной еще в 1922 году, после взрыва Вселенная начала расширяться. В результате расширения Вселенной температура вещества и излучения уменьшалась, достигнув через тысячу лет после взрыва значения К. Плотность вещества во Вселенной к этому времени приняла значение порядка кг/м³. В этих условиях электроны, протоны и нейтроны объединяются, образуя атомы водорода, гелия и других легких элементов. Среда, состоящая из таких нейтральных атомов, становится прозрачной для излучения, и оно "отрывается" от вещества. Начиная с этого момента времени фотонный газ занимает весь объем Вселенной и расширяется вместе с ней. Это расширение фотонного газа можно считать адиабатическим.

Из соотношения (1.52) следует, что по мере роста объема расширяющейся Вселенной температура фотонного газа, заполняющего ее, будет уменьшаться. Простой расчет (см. задачу 1.6) показывает, что в результате такого процесса вся Вселенная к настоящему времени должна быть заполнена равновесным излучением с температурой порядка 3 К. Так как это тепловое космическое излучение представляет собой первичное излучение, зародившееся на ранней стадии эволюции Вселенной, то известный астрофизик И.С.Шкловский назвал его реликтовым (от лат. - оставленный). Оценки показывают, что сейчас в каждом кубическом сантиметре Вселенной находится порядка 700 фотонов реликтового излучения.

В 1965 г. американские инженеры А.Пензиас и Р.Уилсон при отладке приемника радиотелескопа обнаружили слабый фоновый радиошум, приходящий из космоса в виде равномерно распределенного по небесной сфере излучения с максимумом энергии на длине волны мм. Закон Вина (1.11) позволяет определить, что на такой длине волны находится максимум энергии равновесного теплового излучения при температуре К. Так, в какой-то мере случайно, было обнаружено реликтовое тепловое излучение, как след процессов, происходивших во Вселенной в далеком прошлом.

Открытие реликтового излучения, удостоенное в 1978 г. Нобелевской премии по физике, является важным достижением современной науки. Оно подтверждает правильность теории "горячей" расширяющейся Вселенной, описывающей эволюцию Вселенной в течение десятков миллиардов лет. Из этой теории следует, что на ранней стадии эволюции Вселенная существенно отличалась от современной и представляла собой сгусток сверхплотной плазмы и излучения с очень высокой температурой, рожденных в момент Большого взрыва. Мы видим, что физические законы, открытые в земных условиях, справедливы и для явлений в космических масштабах. Значимость такого вывода очень велика.

Задача 1.5. Определите число фотонов в единице объема пространства, заполненного равновесным тепловым излучением при температуре .

Решение: Если ввести объемную концентрацию фотонов излучения из интервала частот от до , то искомая концентрация фотонов излучения всевозможных частот определится как

.

По определению, спектральная объемная плотность энергии излучения . Поэтому, с учетом формулы Планка (1.38), находим, что

.

Несобственный интеграл может быть вычислен. Его приближенное значение равно 2,4. Поэтому. окончательно, для расчета концентрации фотонов получаем формулу

.

По этой формуле находим, в частности, что м^-3 при К и м^-3 при К. Такая зависимость концентрации частиц от температуры является характерной особенностью фотонного газа.

Задача 1.6. В теории "горячей" Вселенной считается, что "отрыв" излучения от вещества на ранней стадии эволюции Вселенной произошел при температуре К и плотности вещества кг/м³. Считая, что в настоящее время плотность вещества во Вселенной кг/м³, оцените температуру реликтового излучения на современном этапе эволюции Вселенной.

Решение: Предположим, что излучение, заполняющее всю Вселенную, расширяется вместе с ней адиабатно. Тогда, с учетом (1.52) находим, что

,

где - искомая температура реликтового излучения в настоящее время, а и - объемы расширяющейся Вселенной на ранней и современной стадиях ее эволюции.

Считая массу вещества во Вселенной неизменной и равной , определим плотности вещества и . Тогда

.

Отсюда получаем

.

Подставляя значения плотностей и , находим, что

К.

До такой температуры "остыло" излучение в расширяющейся Вселенной к настоящему времени.

Дата добавления: 2015-08-31