Оператор импульса

В квантовой механике импульс, как и все другие наблюдаемые физические величины, определяется как оператор, который действует на волновую функцию. Определение на основе волны де Бройля [

Операторы энергии и импульса могут быть построены следующим способом^[1].

Одномерный случай[ править | править вики-текст ]

Решение одномерного уравнения Шредингера в виде плоской волны имеет вид:

Производная первого порядка по координате:

Выражая из соотношения де Бройля:

формула для производной ψ принимает следующий вид:

Таким образом, получаем:

Величины, которые измеряются в эксперименте, - это собственные значения данного оператора.

Так как частная производная - это линейный оператор, оператор импульса также линеен. Поскольку каждая волновая функция может быть выражена как квантовая суперпозиция состояний, когда этот оператор импульса действует на всю суперпозицию волн, он даёт собственные значения для каждой плоской волны, сумма которых представляет собой результирующий импульс суперпозиции волн.

Три измерения[

Уравнение в трёх измерениях записывается аналогично, за исключением оператора градиента, включающим в себя частные производные по координатам. В трехмерном случае решение уравнения Шредингера в виде плоских волн будет следующим:

где градиент

где , and - это единичные векторы для трехмерности, а значит

Это оператор импульса в координатном представлении - частные производные в нем берутся по отношению к пространственным переменным.

Определение на основе инвариантности к трансляциям

См. также: Теорема Нетер

Трансляционный оператор обозначается как T (ϵ), где ϵ представляет собой величину трансляции и удовлетворяет следующему соотношению:

которое становится

Считая ψ аналитической функцией (то есть дифференцируемой в некоторой области комплексной плоскости), её можно разложить в ряд Тейлора по x:

тогда:

Как известно из классической механики, импульс - это генератор трансляций, так что соотношение между операторами трансляции и импульса будет иметь вид:

тогда

Дата добавления: 2015-08-31