Статистическая обработка результатов

Точечными, т.е. определяемыми одним числом, оценками неизвестного параметра являются выборочное среднее , дисперсия S² и среднее квадратиче­ское отклонение S, вычисляемые по формулам

(1)

(2)

Чем выше дисперсия, тем больше разброс измерений относительно среднего значения .

Более информативный способ оценивания неизвестного параметра заключается в построении интервала, где с заданной степенью достоверности будет находиться оцениваемый параметр. Степень достоверности называют доверительной вероятностью и обозначают p, величину q = 1 - p называют уровнем значимости. В технических исследованиях доверительную вероятность принимают, как правило, равной 0,95. Таким образом, если многократно извлекать выборки объёмом n, то в среднем в 95 % случаев доверительный интервал будет содержать истинное значение параметра.

Границы доверительного интервала рассчитывают по формулам

левая граница ,

правая граница ,

где ε = . (3)

S – среднее квадратическое отклонение;

t_a,f – значение критерия Стьюдента, определяемое из таблиц распределения Стьюдента, при уровне значимости a = и числе степеней свободы f = n- 1.

Относительной ошибкой среднего значения называют величину D

D = (4)

Пусть необходимо установить, сколько опытов нужно провести, чтобы при фиксированном уровне значимости a, была бы достигнута заданная относительная ошибка среднего значения.

Для решения такой задачи сначала находят среднее квадратическое отклонение (S) из небольшого (2-3) количества опытов. Из формулы (3) выражают t_a,f

t _a,f = (5)

После этого с помощью таблицы 2 подбирают такое количество опытов n, чтобы рассчитанное по формуле (5) значение критерия Стьюдента превышало соответствующее табличное.

Пример 1 — Допустим, что в результате опыта получено два результата: 56,47 и 56,07. Определить необходимое количество повторностей опыта, обес­печивающее при доверительной вероятности a=0,95 точность среднего резуль­тата (относительную ошибку) в 1,0 %.

Вычисляем средний результат по формуле 1:

Дисперсия среднего результата по формуле 2:

S² = = 8·10^-2.

Среднеквадратичная ошибка отдельного результата:

S = = 0,283.

По таблице 1 находим t^табл_{a, n-1} (для a=0,95 и f = n-1=1)

t^табл_{a, n-1} = 12,706

Таблица 1 — Критерий Стьюдента

Число степеней свободы f=n-1	Критерий Стьюдента t при
a=0,80	a=0,90	a=0,95	a=0,99
	3,078	6,314	12,706	63,657
	1,886	2,920	4,303	9,925
	1,638	2,353	3,182	5,841
	1,533	2,132	2,776	4,604
	1,476	2,015	2,571	4,032
	1,440	1,943	2,447	3,707
	1,415	1,895	2,365	3,499
	1,397	1,860	2,306	3,355
	1,383	1,833	2,262	3,250
	1,372	1,812	2,228	3,169

Величина доверительной ошибки (абсолютная погрешность) по формуле 3 рассчитывается:

ε = = 2,54.

Относительная ошибка:

D = ·100 = 4,5%.

Доверительная ошибка (абсолютная погрешность) для условий задачи (D = 1%) рассчитывается:

ε = = 0,563.

Расчетное значение t_{a, n-1} определяется из формулы 3:

t^расч_{a, n-1} = » 2 .

Требуется подобрать такое количество опытов n, чтобы соблюдалось условие t^расч_{a, n-1}> t^табл_{a, n-1.} Если провести три параллельных опыта, то для условий a=0,05 и f = n-1= 2 по таблице t^табл = 4,30; t^расч = 2 = 3,46.

Условие t^расч > t^табл не соблюдается, значит следует увеличить число опытов.

Если провести 4 опыта, то при a=0,95 и n-3 t^табл = 3,18, t^расч = 2 = 4,00.

Условие t^расч> t^табл соблюдается, значит число опытов n=4 обеспечивает точность среднего определения в 1% с доверительной вероятностью a=0,95.

Дата добавления: 2017-01-13