Задачі для самостійної роботи. Практичне заняття №10. Метод Фур’є

Задачі.

Практичне заняття №10. Метод Фур’є. Гіперболічні рівняння

Перша крайова задача.

Неоднорідне рівняння з нульовими граничними умовами.

Розглянемо неоднорідне рівняння

Розв’язок шукають у вигляді .

Підставляючи ряд Фур’є замість , , отримаємо, що задовольняє рівнянню

,

при чому , задовольняє початковим умовам

що однозначно визначає .

Знайти розв’зок

Введемо невідому функцію за допомогою рівності , де розв’язок рівняння ,

що задовольняє умовам

Виберемо таким чином, щоб , , тобто .

Тим самим загальна крайова задача для зводиться до задачі для функції з нульовими граничними умовами (див. п.1).

Приклад. Розв’язати задачу:

.

Оскільки

Маємо , де розв’язки відповідних задач

Знайдемо .

Відповідне характеристичне рівняння для кожного п є , отже для кожного п, маємо фундаментальну систему розв’язків ; - розв’язок неоднорідного рівняння при шукаємо у вигляді підставляючи до рівняння отримаємо отже .

Таким чином , та

і

при

.

Отже маємо

Розв’язок задачі має вигляд .

Необхідні відомості: 1. Перша крайова задача.

2. Вигляд розв’язку першої крайової задачі з нульовими умовами на границі.

3. Розв’язання першої крайової задачі у загальному випадку.

1.1 Струна закріплена на кінцях , має у початковий момент вигляд параболи . Визначити відхилення точок струни від осі ОХ, якщо початкова швидкість відсутня.

1.2 Визначити форму струни у момент , якщо , ,

.

2.1 Розв’язати задачу

2.2

1.

.

2. Струна закріплена на кінцях , . У початковий момент має вигляд ламаної , Знайти форму струни в момент , якщо початкові швидкості відсутні.

3.

4. ,

, .

5. ,

6. ,

7.

8. , ,

9. ,

10. ,

Дата добавления: 2017-01-13