Задачі на нескінченій та напівнескінечній прямій

Перша крайова задача.

Метод розділення змінних.

1. Знайти неперервний в замкнутій області розв’язок рівняння , що задовольняє початковій умові , та однорідним граничним умовам .

Для цього розглянемо допоміжну задачу:

2. знайти розв’язок рівняння тотожно не рівне 0, що задовольняє однорідним граничним умовам , та має вид .

Міркуючи як це робилось раніше отримаємо, що Х, Т – задовольняють рівнянням:

Як і раніше задовольняє 1, якщо .

Відповідно .

Повертаючись до першої задачі. Отримаємо, що розв’язок її має вигляд

Враховуючи початкову умову маємо

.

Відмітимо, що як і раніше, розв’язок, коли існують і відповідні ряди збігаються.

Згідно з [5], для цього достатньо щоб була неперервна на та мала частково­неперервну похідну.

Лекція №16. Перша крайова задача для рівняння параболічного виду

1. Неоднорідна задача з нульовими початковими і граничними умовами.

Розв’яжемо задачу:

Будемо шукати розв’язок у вигляді

.

Для цього представимо у вигляді ряду

, де .

Підставляючи у рівняння отримаємо

Отже

або

Із початкових даних для маємо

,

отже

Розв’язуючи звичайне диференційне рівняння з нульовими початковими даними, отримаємо

.

Таким чином, розв’язок має вид

Розв’яжемо задачу:

Введемо невідому функцію за допомогою рівності

де визначається як розв’язок рівняння , яке задовольняє умовам

Виберемо так, щоб , тобто .

Таким чином, задовольняє рівняння

Тоді, розв’язок - сума розв’язка рівняння з нульовою початковою умовою. (див. п.1) та розв’язку однорідного рівняння з початковою умовою заданою за допомогою функції (дивіться лекцію 7).

1. Знайти обмежену функцію визначену на області , що задовольняє рівнянню і початковій умові .

Будемо шукати розв’язок в вигляді . Підставляючи в рівняння отримаємо

( - параметр).

Маємо рівняння для і відповідно

Розв’язуючи ці рівняння знайдемо частинний розв’язок вихідного рівняння

.
Розглянемо функцію

(вона задовольняє рівняння, так як суперпозиція розв’язків – розв’язок). Вимагаючи виконання початкової умови при отримаємо

(із перетворення Фур’є) отримаємо

.

Підставляючи в , остаточно будемо мати

Таким чином,

називається інтегралом Пуассона, неперервно примикає до (доведення дивіться [5]) і являється єдиним розв’язком задачі для будь якої обмеженої .

Приклад. Знайти розв’язок рівняння теплопровідності, якщо початкова температура постійна але різна для і

Користуючись формулою отримаємо

при підрахунку ми врахували наступні рівності

Для напівнескінечної прямої перша крайова задача має вид

Розв’язок має вид

дивіться [5]. Розглянути самостійно.

Дата добавления: 2017-01-13