Єдиність розв’язку

Постанова крайових задач.

Лекція №15. Рівняння параболічного типу

Враховуючи, що параболічне рівняння описує процес розповсюдження тепла (дифузії) в стержні, то ми отримаємо наступні задачі.

1. Задача з початковою умовою (у випадку довгого стержня, коли граничні умови не впливають):

знайти розв’язок параболічного рівняння на області що задовольняє умові .

2. У випадку, коли ділянка, що цікавить, знаходиться поблизу одного з кінців стержня, то розглядають задачу для напівскінченого стержня:

Знайти розв’язок рівняння теплопровідності на області , що задовольняє умови

3. У випадку, коли момент часу, що цікавить, достатньо віддалений від початкового, тоді початкова умова не впливає і розглядають задачу без початкової умови:

знайти розв’язок параболічного рівняння на області , що задовольняє умови:

Можна розглядати і інші варіанти.

Перша крайова задача:

Знайти розв’язок рівняння , що задовольняє початковій умові , та граничним умовам

де - неперервні і .

По відношенню до кожної з задач виникають запитання:

1) єдиності розв’язку,

2) існування розв’язку.

Ситуація аналогічна випадку з гіперболічним рівнянням.

Теорема. Якщо функція , визначена і неперервна в замкнутій області і задовольняє рівнянню , то максимальні (мінімальні) значення досягаються або в початковий момент, або в точках границі .

Зауваження: з фізичної точки зору це природно, оскільки немає джерел тепла.

Доведення. Доведемо від супротивного. Нехай , де max обчислюється при , або при , або при , і припустимо що така, що є максимальне значення .

Порівняємо значення і в точці . Так як функція в точці досягає свого максимального значення, то і .

Далі, оскільки досягає максимуму в точці , то .

Розглянемо функцію , де . Очевидно і .

Виберемо так, щоб , тобто , тоді максимальне значення при , або при , або не буде перевищувати .

Однак в силу неперервності вона повинна в деякій точці досягати свого максимального значення, тобто , що .Враховуючи вище сазане маємо, що і . По аналогії з вище сказаним і

Звідси .

Тобто функція не задовольняє рівняння в точці що суперечить умові і доводить теорему. Аналогічно доводиться твердження теореми для мінімального значення.

Теорема (єдиності). Якщо дві функції і , визначені і неперервні на області , , задовольняють рівнянню теплопровідності

і то .

Доведення. Розглянемо функцію , тоді неперервна на області ; задовольняє рівняння теплопровідності, а також і нульовим початковому та граничним умовам. Звідси , згідно з попередньою теоремою, тобто теорему доведено.

Використовуючи вище вказаний метод, модифікуючи його під ситуацію, можна показати єдиність розв’язку задачі для нескінченної прямої, дивіться [5].

Дата добавления: 2017-01-13