Задачи для практических занятий и самостоятельной работы

Распределение Пуассона

Гипергеометрическое распределение

Формальная модель – имеется урна, в которой a белых и b черных шаров; из урны вынимается n шаров. X – число белых шаров среди вынутых.

Ряд распределения

,

где ; .

Моменты: ; .

Гипергеометрическое распределение, a=5; b=95; n=5. Таблица 4.2.

M
Pm	0,7696	0,2114	0,0184	0,0006

Гипергеометрическое распределение применяется на практике при решении задач, связанных с контролем продукции. При и гипергеометрическое распределение приближается к биноми­нальному с параметрами: n – величина выборки, .

Формальная модель – получается предельным переходом из бино­минальной модели (4.1), если , , . На практике распространено задание , где – интенсив­ность потока (число событий за единицу времени), – длина интер­вала. X – число событий на участке длиной . Ряд распределения , где ; .

Моменты: ; .

Пример распределения Пуассона дан в табл. 4.3.

Распределение Пуассона . Таблица 4.3.

	a=0,1	a=0,9	a=7,0
	0,9048 0,0905 0,0045 0,0002 0,0000 - - - - - - - - - - - - - - - -	0,4066 0,3659 0,1647 0,0494 0,0111 0,0020 0,0003 0,0000 - - - - - - - - - - - - -	0,0009 0,0064 0,0223 0,0521 0,0912 0,1277 0,1490 0,1490 0,1304 0,1014 0,0710 0,0452 0,0263 0,0142 0,0071 0,0033 0,0014 0,0006 0,0002 0,0001 0,0000

1. Построить графически с помощью таблиц законы распределения (ряды, плотности вероятностей, функции распределения) случайных величин.

Открыть приложение MS Excel.

В первой строке записать число успехов опыта. Например, от 0 до 5 (рис.4.2).

Во второй строке - биномиальный закон распределения. Для этого необходимо поставить курсор в ячейку, стоящую ниже числа успехов (b2) и вызвать статистическую функцию БИНОМРАСП. Ввести следующие аргументы:

- число s: номер ячейки со случайной величиной (b1);

- испытания: число испытаний (5);

- вероятность: любое число от 0 до 1 (0,5);

- интегральный: логическое значение, определяющее вид функции; интегральная функция распределения (ЛОЖЬ) (вторая строка) или функция плотности распределения (ИСТИНА). (третья строка)

в четвертой строке – геометрический ряд распределения, описываемый формулой . (Этот закон не указан в списке стандартных функций Excel, поэтому его нужно задавать пользователю по формуле). Функция СТЕПЕНЬ (p; n)*q, где p – вероятность (в нашем случае – 0,6), n – номер ячейки (b1), q=1- p (в нашем случае – 0,4);

в пятой строке – гипергеометрический ряд распределения, предусматривающий функцию ГИПЕРГЕОМЕТ (количество успешных испытаний в выборке; размер выборки; количество успешных испытаний в генеральной совокупности; размер генеральной совокупности). В нашем случае формула выглядит так: ГИПЕРГЕОМЕТ (b1;5;5;100);

в шестой строке – ряд распределения Пуассона (функция плотности распределения) ПУАССОН (количество событий; среднее; интегральный) в нашем случае ПУАССОН(b1;1,6;ложь);

в седьмой строке – ряд распределения Пуассона (интегральная функция распределения) ПУАССОН (b1; 1,6; истина).

Для того, чтобы графически отобразить интегральный закон распределения (функцию распределения), необходимо сначала вычислить его аналитически вместо ряда распределения. Ввести матрицу А (n´n), где n – число успехов опыта (в примере – 6). Матрица изображена на листе Excel в диапазоне (A10:F15). В диапазоне (H10:H15) – транспонированная матрица ряда геометрического распределения. Для умножения матриц используем функцию МУМНОЖ (массив 1; массив 2). В нашем случае - МУМНОЖ (A10:F15;H10:H15) в ячейке I10. Результирующая матрица получается так – выделим место под нее, активизируем строку формул и нажмем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

Для геометрического закона построить функцию распределения и плотность распределения.

То же самое проделать для гипергеометрического распределения и для распределения Пуассона.

Рис. 4.2. Изучение законов распределения дискретных случайных величин

2. Отметить значения, соответствующие математическому ожиданию, моде, медиане и отклонениям от математического ожидания.

3. Найти вероятность попадания значения СВ в заданный интервал.

Дата добавления: 2017-01-14