Взаимное положение прямых в пространстве

Следы прямой

Следом прямой называется точка пересечения прямой с плоско­стью проекции. Горизонтальным следом прямой называют точку пе­ресечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций (рис. 4.5). Горизонтальный след обозначают буквой Н. При этом координата г точки Н равна нулю. Следовательно, для нахождения горизонтально­го следа прямой на ней определяют точку Н с нулевой координатой z (рис. 4.5).

Фронтальным следом прямой называют точку пересечения пря­мой с фронтальной плоскостью проекции (рис. 4.5). Обозначают фронтальный след буквой F. Координата у точки F равна нулю. Сле­довательно, для нахождения фронтального следа F прямой на ней оп­ределяют точку, имеющую нулевую координату у.

Профильным следом прямой называют точку пересечения прямой с профильной плоскостью проекции. Обозначают профильный след буквой Р. Координата х точки Р равна нулю.

Пересекая плоскости проекции, прямая переходит из одной чет­верти пространства в другую. Линия общего положения может пройти через три четверти пространства; линия уровня и проецирующая ли­ния — через две четверти.

4.4 Длина отрезка прямой и углы наклона прямой
к плоскостям проекции

Отрезок прямой, параллельной какой-либо плоскости проекции, проецируется на данную плоскость без искажения (в натуральную величину) (рис. 4.6).

Так, отрезок АВ параллелен плоскости П₁ (рис. 4.6, а), следова­тельно, длина отрезка равна его горизонтальной проекции A₁ B₁. Угол между осью х и горизонтальной проекцией отрезка определяет угол наклона отрезка АВ к плоскости П₂.

Отрезок CD параллелен плоскости П₂ (рис. 4.6, б), следовательно, длина отрезка равна его фронтальной проекции C₂D₂. Угол а опреде­ляет угол наклона отрезка CD к плоскости П₁.

Отрезок EF параллелен плоскости Пз (рис. 4.6, в), следовательно, длина отрезка равна его профильной проекции E₃F₃. Углы наклона отрезка к плоскостям П_г и П₂ определяют соответственно углы и .

Если отрезок не параллелен плоскостям проекции, то для опреде­ления натуральной величины его и угла наклона к плоскости проек­ции необходимо выполнить дополнительные построения: построить вспомогательный прямоугольный треугольник, один катет которого равен проекции отрезка на плоскость П₁ или П₂, а другой - разности удалений концов отрезка от той плоскости, на которой строится тре­угольник (рис. 4.7).

Один катет вспомогательного треугольника равен горизонтальной проекции отрезка A₁ B₁ а другой – В₁ B₀ - разности координат z концов отрезка (точек А и В). Гипотенуза А₁В₀ определяет действительную Длину отрезка АВ. Угол а при вершине a₁ определяет угол наклона отрезка АВ к плоскости П_1.

Теорема о проецировании прямого угла. Для того чтобы прямой угол проецировался в виде прямого угла, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, одна его сторона была параллельна плоско­сти проекции, а вторая сторона не перпендикулярна к ней (рис. 4.10).

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересе­кающимися или скрещивающимися. Если две прямые параллельны, то их одноименные проекции взаимно параллельны (рис. 4.8). Если две прямые пересекаются, то точки пересечения одноименных проек­ций принадлежат одной линии связи (рис. 4.9). В частном случае пе­ресекающиеся прямые могут быть перпендикулярными.

Дано:

a b; плоскость П`, b||П`

Доказать, что a' b'.

Для доказательства через прямые а' и а вводится дополнительная плоскость . Прямая b перпендикулярна к плоскости и параллельна проекции прямой b'. Отсюда прямая V тоже перпендикулярна к плос­кости .

Прямая а' принадлежит плоскости , следовательно, а' перпенди­кулярна к b', т.е. прямой угол проецируется без искажения.

Если две прямые не параллельны и не пересекаются, т.е. не лежат в одной плоскости, то они являются скрещивающимися (рис. 4.11).

Взаимное положение двух прямых при наличии профильной пря­мой устанавливается по третьей проекции или каким-либо иным спо­собом. На рис. 4.12 изображены две скрещивающиеся прямые, хотя их горизонтальные и фронтальные проекции пересекаются, а про­фильные — параллельны между собой.

Дата добавления: 2017-02-01