Перевод секущей прямой в частное положение

Вспомогательная секущая плоскость общего положения

Вспомогательную секущую плоскость, проводимую через прямую при пересечении ею какой-либо поверхности, следует выбирать так, чтобы в результате получались простейшие сечения.

Например, при пересечении конической поверхности прямой ли­нией такой плоскостью является плоскость, проходящая через верши­ну и пересекающая эту поверхность по прямым линиям. При пересе­чении цилиндрической поверхности прямой линией вспомогательную плоскость целесообразно проводить через заданную прямую парал­лельно образующим цилиндра.

12.2.1 Задание: определить точки пересечения прямой т с по­верхностью прямого кругового конуса (рис. 12.3).

Решение: прямую т заключают в плоскость Р, проходящую через вершину конической поверхности S. Плоскость Р задана пересекающимися прямыми т и n, проходящими через точку А, которая выби­рается произвольно на заданной прямой т.

Для определения горизонтального следа плоскости Р находят го­ризонтальные следы прямых т и п. Следы отмечают точками, напри­мер, 1₁ и 2₁, в которых горизонтальный след p₁ плоскости Р пересека­ет основание конической поверхности. Проекции S₁1₁ и S₂2₂ - обра­зующие поверхности конуса, по которым она пересекается плоско­стью Р.

Точки k₁ и l₁ - горизонтальные проекции искомых точек пересе­чения. Зная положение k₁ и L₁ определяют К₂ и L₂.

При пересечении поверхности сферы плоскостью в сечении полу­чается окружность, которая проецируется на плоскости проекции в

виде эллипсов или прямой и эллипса (если секущая плоскость - про­ецирующая). В случае, когда секущая плоскость параллельна плоско­сти проекции, окружность проецируется на эту плоскость проекции без искажения. Поэтому для упрощения решения задачи следует про­извольно расположенную прямую перевести в положение, параллель­ное какой-либо плоскости проекции. Тогда прямую можно заключить в плоскость, параллельную плоскости проекции.

12.3.1 Задание: определить точки встречи прямой т, заданной от­резком АВ, с поверхностью сферы (рис. 12.4).

Решение: при решении этой задачи переводят прямую т в поло­жение, параллельное плоскости проекции. Для этого вводят новую систему плоскостей П₄/П₁ в которой т ||П₄, и переходят от системы П₂/П₁ к системе П₄П₁. Новую ось проекций x_1-4 проводят параллельно горизонтальной проекции прямой A₁B₁.

Далее от концов горизонтальной проекции прямой, точек a₁ и В₁ проводят прямые, перпендикулярные к новой оси проекций, и на них на плоскости П₄ откладывают координаты z_A и Z_B т.е. расстояния от оси проекций х до фронтальных проекций точек А₂ и В₂. Новая про­екция А₄В₄ будет натуральной длиной прямой АВ. Аналогично нахо­дят и центр сферы О₄.

В новой системе горизонтально проецирующая плоскость Р () пересечет поверхность сферы по окружности радиусом R, которая спроецируется на плоскость hi в отрезок (12), а на плоскость П₄ в окружность тем же радиусом R. Точки К₄ и L₄ -вспомогательные проекции точек пересечения, по которым определяют вначале k₁ и L₁ а затем К₂ и L₂.

Дата добавления: 2017-02-01