Краткие теоретические сведения.

Задачи на классическое определение вероятности и гипергеометрическое распределение

Задачи.

Краткие теоретические сведения

А) Понятия.

В результате испытаний могут наступать элементарные события . Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называется пространством элементарных событий .

Элементарные события из , при которых событие А наступает, называются благоприятствующими событию А.

Группа событий называется полной, если при проведении опыта всегда происходит какое-то из этих событий.

Б) Операции над событиями.

1) означает, что событие А влечет за собой событие В, или событие В происходит всякий раз, когда происходит А.

2) А=В означает, что событие А тождественно или эквивалентно событию В и это возможно в том случае, если одновременно и

3) Суммой событий (или ) - называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного события А или В.

4) Произведением событий (или ) называется событие, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.

5) - разность событий. Это событие, которое означает, что наступило событие А, но не происходит событие В.

6) Событие - это событие противоположное событию А. Оно состоит из всех исходов, которые не входят в событие А. Или: - это событие, которое происходит только тогда, когда А не происходит.

В) Свойства операций над событиями.

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. Ø 12.

1. На столе лежит 12 пронумерованных карточек. Опыт состоит в извлечении одной карточки. Требуется:

а) составить пространство элементарных событий для данного опыта;

б) указать элементарные события (исходы), благоприятствующие событиям:

A = {появление карточки с нечетным номером},

B ={появление карточки с четным номером},

C={появление карточки с номером, большим чем 3},

D={появление карточки с номером, меньшим чем 7};

в) пояснить, что означают события ;

г) какие из пар событий A, B, C, D совместны, а какие нет?;

д) какие из этих пар событий образуют полную группу, а какие нет?;

е) привести примеры невозможного и достоверного событий.

2. Построить пространство элементарных событий для следующих испытаний:

а) гроссмейстер играет в шахматы с компьютером;

б) трижды подбрасывается монета.

3. Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Пусть событие - первый студент решил задачу, - второй, - третий. Выразить через события следующие события:

а) A = {все студенты решили задачу};

б) B = {задачу решил только первый студент};

в) С = {задачу решил хотя бы один студент};

г) D = {задачу решил только один студент}.

4. Электрическая цепь составлена по схеме

Событие

Событие

Выразить события через события .

5. Электрическая цепь составлена по схеме

Событие

Событие

Выразить события через события .

6. В кабинете стоят три персональных компьютера. События означают, что включен компьютер. Представить в виде сумм, произведений и сумм произведений событий и следующие события:

A - все три компьютера включены;

B - все три выключены;

C – хотя бы один включен;

D – хотя бы один выключен;

E – не менее двух включено;

F – не более одного включено;

7. Событие А – хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное, событие В – бракованных изделий не менее трех. Что означают события и ?

8. Рабочий обслуживает три автоматических станка. Событие А – хотя бы один из трех станков потребует внимания рабочего в течение часа, В – все три станка не потребуют внимания рабочего в течение часа. Что означают события: а) А+В; б) АВ?

9. Пусть A, B, C – любые случайные события из произвольного пространства элементарных событий. Записать выражения для следующих событий:

а) произошло только А;

б) А и В, но не С;

в) все три события;

г) покрайней мере одно;

д) ровно одно;

е) ровно два;

ж) ни одного;

з) произошло не больше двух.

10. Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второго типа. События: - исправен i- й блок первого типа, - исправен блок второго типа. Прибор работает, если исправен хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго. Выразите событие С, означающее работу прибора, через события и .

11. Доказать равенства

а) A + B = (A-B) + (B-A) + AB

б) (A + B) – B = A – B

в) (A – B) + B = A + B

д) (A + B) C = A C + B C

12. При каких условиях справедливы следующие соотно-
шения: а) A + B = A B

б) (A + B) – B = A

13. Упростить выражения:

а) б) (A + B) (B + C) (C + A) в) (A+B) B + A (AB)

14. Из ящика, в котором находятся изделия трех сортов, извлекается деталь. Пусть событие А – «извлечена деталь первого сорта», событие В – «извлечена деталь второго сорта», событие С – «извлечена деталь третьего сорта». Что представляют собой следующие события: ?

15. На трех станках изготавливают однотипные изделия. Событие ( -1,2,3) – изделие, изготовленное на -м станке, отвечает стандарту. Что означают события:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ?

Вероятность – это количественная мера возможности появления события.

Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие.

, где - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, - общее число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.

Данное определение вероятности называют классическим.

Вероятность события имеет следующие свойства:

а) ; б)

Гипергеометрическое распределение (урновая схема)

Случайная величина имеет гипергеометрическое распределение, если она принимает значения с вероятностями

, где представляет вероятность выбора объектов, обладающих заданным свойством, из множества объектов, случайно извлеченных (без возврата) из совокупности объектов, среди которых объектов обладают заданным свойством.

Дата добавления: 2017-02-01