КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Теплоємність кристалічної решітки
Для розрахунку теплоємності запишемо середнє значення енергії коливань кристалічної решітки (26.6) , (29.1) де – функція Бозе – Ейнштейна . (29.2) Підставляючи (29.2) у (29.1), маємо , (29.3) де незалежна від температури величина . (29.4) Вводячи функцію розподілу частот коливань кристалічної решітки (густину фононних станів), вираз (29.3) можна подати у вигляді , (29.5) де – функція розподілу частот коливань кристалічної решітки, що визначається аналогічно густині електронних станів (19.19), . (29.6) Модель Дебая та модель Ейнштейна.
Виконаємо розрахунок теплоємності кристалічної решітки в моделі Дебая для спектру частот акустичних коливань та в моделі Ейнштейна для спектру частот оптичних коливань. Для цього розіб’ємо суму у правій частині (29.3) на суму по акустичним гілкам коливань і суму по оптичним гілкам коливань. В результаті матимемо . (29.7) Енергія акустичних коливань , (29.8) де функція розподілу частот акустичних коливань . (29.9) Енергія оптичних коливань . (29.10) В моделі Дебая частота акустичних коливань покладається рівною (див. (23.16)) , j =1,2,3. (29.11) Враховуючи (29.11), розраховуємо величину у виразі (29.9), яка дорівнює . (29.12) Використовуючи (29.12), нескладно одержати . (29.13) Введемо ефективну швидкість акустичних хвиль v 0 згідно формули , (29.14) де і – швидкості повздовжніх і поперечних акустичних хвиль відповідно. Підставляючи (29.14) у (29.13), одержимо . (29.15) Інколи буває зручним виразити сталу у правій частині (29.15) через максимальну частоту wm акустичних коливань згідно формули . (29.16) Підставляючи (29.15) у (29.16), матимемо . (29.17) Враховуючи (29.17), із (29.15) одержимо . (29.18) Підставляючи (29.18) у (29.8), для енергії акустичних коливань матимемо . (29.19) Вводячи безрозмірну змінну та температуру Дебая , запишемо вираз (29.19) для енергії акустичних коливань у вигляді . (29.20) Введемо тепер функцію Дебая . (29.21) Підставляючи (29.21) у (29.20), в результаті для енергії акустичних коливань одержимо . (29.22) Перейдемо тепер до розрахунку оптичних коливань. Використаємо для цього модель Ейнштейна для спектру частот оптичних коливань, згідно якої , j =4,5,…,3 r. (29.23) Враховуючи (29.23) і вводячи температури Ейнштейна , запишемо енергію оптичних коливань (29.10) у вигляді . (29.24) Підставляючи (29.22), (29.24) у (29.7), в результаті для енергії коливань кристалічної решітки одержимо . (29.25) Дослідимо вираз (29.25) при високих температурах . Враховуючи, що в цьому випадку верхня межа інтегрування у виразі (29.21) для прямує до нуля, і розкладаючи під знаком інтеграла функцію в ряд , одержимо . (29.26) Аналогічно одержимо . (29.27) Підставляючи (29.26), (29.27) у (29.25), матимемо . (29.28) Теплоємність кристалічної решітки при постійному об’ємі визначається виразом . (29.29) Використовуючи (29.28), із (29.29) для теплоємності кристалічної решітки при високих температурах одержимо . (29.30) Теплоємність одного моля речовини згідно (29.30) дорівнює . (29.31) Із виразу (29.30) видно, що теплоємність кристалічної решітки при високих температурах не залежить від температури, що знаходиться у відповідності з законом Дюлонга – Пті. Розглянемо тепер теплоємність при низьких температурах . Враховуючи, що в цьому випадку верхня межа інтегрування у виразі (29.21) для прямує до нескінченності, одержимо . (29.32) Враховуючи, що сума по оптичним гілкам коливань у правій частині рівності (29.25) при низьких температурах прямує до нуля за експоненційним законом, нехтуємо цією сумою в порівнянні з величиною . Це означає, що основний внесок в енергію коливань кристалічної решітки при низьких температурах дають акустичні коливання, а ймовірність збудження оптичних коливань є незначною. В результаті для енергії коливань кристалічної решітки при низьких температурах одержимо . (29.33) Підставляючи (29.33) у (29.29), для теплоємності кристалічної решітки матимемо . (29.34) Із (29.34) видно, що теплоємність кристалічної решітки при низьких температурах описується законом Дебая . При довільних температурах теплоємність розраховується за формулами (29.25), (29.29).
Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 46; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |